Para cada curva do espaço abaixo, calcule as componentes tangencial aT e normal aN da aceleração no instante indicado. Use as definições:
aT=dd t|v(t)|, aN=raiz|a(t)|^2-aT^2
r(t)=(2 t-1) i+t^2 j-4 t k, t=2

Passo 1

O enunciado pede para um movimento no espaço dado por
r(t)=(2t-1),i+t^2,j-4t,k no instante t=2 calcular as componentes tangencial e normal da aceleração, usando
aT=ddt|v(t)|, aN=raiz|a(t)|^2-aT^2
Vamos precisar das derivadas primeira e segunda de r(t), do módulo da velocidade e de sua derivada em t=2.

Passo 2

Calculemos a velocidade e a aceleração:
v(t)=drdt =2,i+2t,j-4,k,
a(t)=dvdt =0,i+2,j+0,k =2,j
Em t=2 temos
v(2)=2,i+4,j-4,k e
a(2)=2,j.

Passo 3

O módulo da velocidade é
|v(t)| =raiz2^2+(2t)^2+(-4)^2 =raiz4+4t^2+16 =raiz4t^2+20
Derivando em função de t e avaliando em t=2:
aT =ddt|v(t)| =12raiz4t^2+20cdot8t =4traiz4t^2+20,
aT|t=2 =4cdot2raiz4cdot4+20 =8raiz36 =86 =43

Passo 4

O módulo da aceleração em t=2 é
|a(2)|=|2,j|=2
Logo a componente normal é
aN =raiz|a(2)|^2-aT^2 =raiz2^2-l(tfrac43r)^2 =raiz4-tfrac169 =raiztfrac36-169 =raiztfrac209 =2raiz53

Resposta

aT=43, aN=2raiz53

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