Calcule os seguintes Limites, se existirem, e verifique se há assintota vertical. Caso o limite não exista, diga por quê.
lim x -1 sen(x^2-x-2)x+1

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto -1sinl(x^2 - x - 2r)x+1
e verificar se há assíntota vertical em x=-1. Observamos que, ao substituir x=-1, numerador e denominador vão a zero, portanto temos uma indeterminação do tipo tfrac00. Para resolver, vamos usar uma mudança de variável e o limite fundamental limuto0sin uu=1.

Passo 2

Façamos a substituição
t = x+1, x = t-1, tto0
Então o argumento do seno fica
x^2 - x - 2 = (t-1)^2 - (t-1) - 2 = t^2 - 2t +1 - t +1 -2 = t(t-3)

Passo 3

Com isso o limite original se reescreve como
limtto0sinl(t(t-3)r)t
Chamando u = t(t-3), temos
sinl(t(t-3)r)t = sin uu,ut

Passo 4

Ao fazer tto0 temos uto0, então tfracsin uuto1 e
ut = t(t-3)t = t-3 ;longrightarrow;-3
Logo
limxto -1sin(x^2 - x - 2)x+1 = -3

Passo 5

Como o limite ao se aproximar de x=-1 é um número finito, não há divergência infinita nem sinais opostos pela esquerda e direita. Portanto não existe assíntota vertical em x=-1.

Resposta

limxto -1sin(x^2 - x - 2)x+1 = -3,
e não há assíntota vertical em x=-1.

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