Calcule os seguintes limites, se for possível:
lim (x, y, z) (0,0,0) x^2 zx^2+y^2+2 z^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite da função x^2 zx^2+y^2+2 z^2 quando os três valores (x, y, z) se aproximam de (0,0,0). Esse tipo de problema está na área de cálculo multivariável, onde a gente analisa como a função se comporta em várias direções ao mesmo tempo. Para resolver, vamos precisar entender como manejar limites em múltiplas variáveis e verificar se o limite existe ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar se o limite depende do caminho pelo qual (x, y, z) se aproxima de (0,0,0). Se o limite for o mesmo para todos os caminhos possíveis, então o limite existe e é esse valor comum. Caso contrário, o limite não existe.

Passo 3

Vamos tentar alguns caminhos simples para ver se conseguimos encontrar um limite consistente.
Caminho 1: Vamos definir y = 0 e z = 0. Assim, a função vira:
x^2 cdot 0x^2 + 0 + 2 cdot 0 = 0
Então, pelo caminho y=0, z=0, o limite é 0.

Passo 4

Caminho 2: Agora, vamos definir x = 0 e y = 0. A função fica:
0 cdot z0 + 0 + 2 z^2 = 0
Pelo caminho x=0, y=0, o limite também é 0.

Passo 5

Caminho 3: Vamos tentar um caminho onde x, y, e z estão todos relacionados. Por exemplo, vamos definir x = y = z. Substituindo na função:
(z)^2 cdot z(z)^2 + (z)^2 + 2 z^2 = z^34 z^2 = z4
Quando z tende a 0, z4 também tende a 0. Então, pelo caminho x=y=z, o limite é 0.

Passo 6

Vamos agora usar coordenadas esféricas para verificar de forma mais geral. Em coordenadas esféricas, temos:
x = r sintheta cosphi y = r sintheta sinphi z = r costheta
Onde r é a distância ao ponto (0,0,0), que tende a 0.
Substituindo na função:
(r sintheta cosphi)^2 cdot r costheta(r sintheta cosphi)^2 + (r sintheta sinphi)^2 + 2 (r costheta)^2
Simplificando:
r^3 sin^2theta cosphi costhetar^2 sin^2theta (cos^2phi + sin^2phi) + 2 r^2 cos^2theta = r^3 sin^2theta cosphi costhetar^2 sin^2theta + 2 r^2 cos^2theta = r sin^2theta cosphi costhetasin^2theta + 2 cos^2theta
Quando r to 0, o numerador r sin^2theta cosphi costheta tende a 0, enquanto o denominador sin^2theta + 2 cos^2theta é sempre positivo e não depende de r. Portanto, o limite geral é 0.

Resposta

O limite lim (x, y, z) (0,0,0) x^2 zx^2+y^2+2 z^2 existe e é igual a 0.

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