Calcule os seguintes limites, se for possível:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite da função
quando os três valores
se aproximam de
. Esse tipo de problema está na área de cálculo multivariável, onde a gente analisa como a função se comporta em várias direções ao mesmo tempo. Para resolver, vamos precisar entender como manejar limites em múltiplas variáveis e verificar se o limite existe ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar se o limite depende do caminho pelo qual
se aproxima de
. Se o limite for o mesmo para todos os caminhos possíveis, então o limite existe e é esse valor comum. Caso contrário, o limite não existe.
Passo 3
Vamos tentar alguns caminhos simples para ver se conseguimos encontrar um limite consistente.
Caminho 1: Vamos definir
e
. Assim, a função vira:
Então, pelo caminho
,
, o limite é
.
Passo 4
Caminho 2: Agora, vamos definir
e
. A função fica:
Pelo caminho
,
, o limite também é
.
Passo 5
Caminho 3: Vamos tentar um caminho onde
,
, e
estão todos relacionados. Por exemplo, vamos definir
. Substituindo na função:
Quando
tende a
,
também tende a
. Então, pelo caminho
, o limite é
.
Passo 6
Vamos agora usar coordenadas esféricas para verificar de forma mais geral. Em coordenadas esféricas, temos:
Onde
é a distância ao ponto
, que tende a
.
Substituindo na função:
Simplificando:
Quando
, o numerador
tende a
, enquanto o denominador
é sempre positivo e não depende de
. Portanto, o limite geral é
.
Resposta
O limite
existe e é igual a
.