Calcule os seguintes limites, se for possível:
Passo 1
Então, temos que calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso faz parte da matéria de Cálculo Multivariável, onde estudamos limites de funções que dependem de mais de uma variável. Para resolver isso, vamos analisar como a função se comporta quando nos aproximamos de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a análise escolhendo caminhos específicos para nos aproximarmos de
. Um caminho simples é ao longo do eixo
, onde
. Substituindo
na função, temos:
Agora, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 0:
Portanto, ao aproximar-nos de
ao longo do eixo
, o limite é 0.
Passo 3
Agora, vamos escolher outro caminho, por exemplo, ao longo da reta
, onde
é uma constante. Substituindo
na função, temos:
Agora, calculamos o limite quando
se aproxima de 0:
Então, ao aproximar-nos de
ao longo de qualquer reta
, o limite também é 0.
Passo 4
Para garantir que o limite seja de fato 0, precisamos verificar outro tipo de caminho. Vamos tentar uma curva diferente, por exemplo,
. Substituindo na função:
Calculando o limite quando
se aproxima de 0:
Mesmo com essa curva, o limite continua sendo 0.
Passo 5
Todos os caminhos que testamos até agora nos dão o limite igual a 0. Isso sugere que o limite pode ser 0. Porém, para ter certeza absoluta, podemos usar a definição de limite ou outros métodos mais avançados. Mas, com base nas análises feitas, podemos concluir que o limite existe e é igual a 0.
Resposta
O limite é 0.