Calcule os seguintes limites, se for possível:
lim (x, y) (0,0) x^3x^2+4 y^2

Passo 1

Então, temos que calcular o limite da função x^3x^2+4 y^2 quando (x, y) se aproxima de (0,0). Isso faz parte da matéria de Cálculo Multivariável, onde estudamos limites de funções que dependem de mais de uma variável. Para resolver isso, vamos analisar como a função se comporta quando nos aproximamos de (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a análise escolhendo caminhos específicos para nos aproximarmos de (0,0). Um caminho simples é ao longo do eixo x, onde y = 0. Substituindo y = 0 na função, temos:
x^3x^2+4(0)^2 = x^3x^2 = x
Agora, vamos calcular o limite quando x se aproxima de 0:
limx to 0 x = 0
Portanto, ao aproximar-nos de (0,0) ao longo do eixo x, o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos escolher outro caminho, por exemplo, ao longo da reta y = kx, onde k é uma constante. Substituindo y = kx na função, temos:
x^3x^2+4(kx)^2 = x^3x^2+4k^2x^2 = x^3x^2(1 + 4k^2) = x1 + 4k^2
Agora, calculamos o limite quando x se aproxima de 0:
limx to 0 x1 + 4k^2 = 0
Então, ao aproximar-nos de (0,0) ao longo de qualquer reta y = kx, o limite também é 0.

Passo 4

Para garantir que o limite seja de fato 0, precisamos verificar outro tipo de caminho. Vamos tentar uma curva diferente, por exemplo, y = x^32. Substituindo na função:
x^3x^2+4(x^32)^2 = x^3x^2+4x^3 = x^3x^2(1 + 4x) = x1 + 4x
Calculando o limite quando x se aproxima de 0:
limx to 0 x1 + 4x = 0
Mesmo com essa curva, o limite continua sendo 0.

Passo 5

Todos os caminhos que testamos até agora nos dão o limite igual a 0. Isso sugere que o limite pode ser 0. Porém, para ter certeza absoluta, podemos usar a definição de limite ou outros métodos mais avançados. Mas, com base nas análises feitas, podemos concluir que o limite existe e é igual a 0.

Resposta

O limite é 0.

Exercícios relacionados