Calcule os seguintes limites, se for possível:
lim (x, y) (4,-1) |x-4|raiz(x-4)^2+(y+1)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite aqui:
lim (x, y) (4,-1) |x-4|raiz(x-4)^2+(y+1)^2
Esse exercício está relacionado a limites em funções de múltiplas variáveis. Para resolver, vamos analisar como a função se comporta quando o ponto (x, y) se aproxima de (4, -1). Precisamos verificar se o limite existe e, se existir, qual é o valor final.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que essa expressão significa. O denominador,
raiz(x-4)^2 + (y+1)^2,
representa a distância do ponto (x, y) até o ponto (4, -1). Já o numerador,
|x - 4|,
é a distância horizontal entre x e 4. Então, o limite está basicamente analisando a razão entre a distância horizontal e a distância total ao se aproximar de (4, -1).

Passo 3

Para verificar se o limite existe, vamos calcular o valor ao se aproximar de (4, -1) por diferentes caminhos. Se obtivermos resultados diferentes, significa que o limite não existe.
Primeira abordagem: Alongando a reta y = -1.
Se fixarmos y = -1 e deixarmos x se aproximar de 4, temos:
|x - 4|raiz(x-4)^2 + (-1+1)^2 = |x - 4|raiz(x-4)^2 = |x - 4||x - 4| = 1
Então, ao se aproximar pela reta y = -1, o limite é 1.

Passo 4

Segunda abordagem: Ao longo da reta x = 4.
Agora, fixando x = 4 e deixando y se aproximar de -1, temos:
|4 - 4|raiz(4-4)^2 + (y+1)^2 = 0raiz0 + (y+1)^2 = 0
Portanto, ao se aproximar pela reta x = 4, o limite é 0.

Passo 5

Como vimos, ao se aproximar de (4, -1) por diferentes caminhos, obtemos valores distintos para o limite:
  • Pela reta y = -1, o limite é 1.
  • Pela reta x = 4, o limite é 0.
Isso significa que o limite não é o mesmo por todas as direções.

Resposta

O limite não existe, pois valores diferentes são obtidos ao se aproximar de (4, -1) por caminhos distintos.

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