Calcule os seguintes limites, se for possível:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite aqui:
Esse exercício está relacionado a limites em funções de múltiplas variáveis. Para resolver, vamos analisar como a função se comporta quando o ponto
se aproxima de
. Precisamos verificar se o limite existe e, se existir, qual é o valor final.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que essa expressão significa. O denominador,
representa a distância do ponto
até o ponto
. Já o numerador,
é a distância horizontal entre
e
. Então, o limite está basicamente analisando a razão entre a distância horizontal e a distância total ao se aproximar de
.
Passo 3
Para verificar se o limite existe, vamos calcular o valor ao se aproximar de
por diferentes caminhos. Se obtivermos resultados diferentes, significa que o limite não existe.
Primeira abordagem: Alongando a reta
.
Se fixarmos
e deixarmos
se aproximar de
, temos:
Então, ao se aproximar pela reta
, o limite é
.
Passo 4
Segunda abordagem: Ao longo da reta
.
Agora, fixando
e deixando
se aproximar de
, temos:
Portanto, ao se aproximar pela reta
, o limite é
.
Passo 5
Como vimos, ao se aproximar de
por diferentes caminhos, obtemos valores distintos para o limite:
- Pela reta
, o limite é . - Pela reta
, o limite é .
Isso significa que o limite não é o mesmo por todas as direções.
Resposta
O limite não existe, pois valores diferentes são obtidos ao se aproximar de
por caminhos distintos.