Determine o valor de
para o qual a função
seja contínua.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, $ f(x, y) $, que é definida de forma diferente no ponto
. Queremos encontrar o valor de $ c $ que fará com que essa função seja contínua nesse ponto. Isso envolve conceitos de limites de funções de várias variáveis e continuidade.
Passo 2
Para que a função seja contínua em
, o limite de $ f(x, y) $ quando
se aproxima de
deve ser igual a $ f(1, 0) $, que é $ c $. Então, vamos calcular:
Passo 3
Vamos analisar o limite. Observe que tanto o numerador quanto o denominador têm termos semelhantes. Podemos reescrever a fração para facilitar:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de cada termo separadamente.
-
Primeiro termo:Quando $ x \to 1 $ e $ y \to 0 $, temos:
-
Segundo termo:Quando $ x \to 1 $ e $ y \to 0 $, ambos os quadrados tendem a zero, mas a fração inteira tende a:
Passo 5
Somando os limites dos dois termos:
Resposta
O valor de $ c $ que torna $ f $ contínua em
é $ c = 1 $.