Determine o valor de c para o qual a função
f(x, y)=ll x y^2+(x-1)^2(x-1)^2+y^2, & se (x, y) neq(1,0) c, & se (x, y)=(1,0)
seja contínua.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, $ f(x, y) $, que é definida de forma diferente no ponto f(x, y) . Queremos encontrar o valor de $ c $ que fará com que essa função seja contínua nesse ponto. Isso envolve conceitos de limites de funções de várias variáveis e continuidade.

Passo 2

Para que a função seja contínua em (1, 0), o limite de $ f(x, y) $ quando f(x, y) se aproxima de (x, y) deve ser igual a $ f(1, 0) $, que é $ c $. Então, vamos calcular:
(1, 0)

Passo 3

Vamos analisar o limite. Observe que tanto o numerador quanto o denominador têm termos semelhantes. Podemos reescrever a fração para facilitar:
f(x, y) = x y^2 + (x-1)^2(x-1)^2 + y^2 = x y^2(x-1)^2 + y^2 + (x-1)^2(x-1)^2 + y^2

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de cada termo separadamente.
  1. Primeiro termo:
    lim(x, y) to (1, 0) x y^2(x-1)^2 + y^2
    Quando $ x \to 1 $ e $ y \to 0 $, temos:
    x to 1
  2. Segundo termo:
    y to 0
    Quando $ x \to 1 $ e $ y \to 0 $, ambos os quadrados tendem a zero, mas a fração inteira tende a:
    1 cdot y^20 + y^2 = y^2y^2 = 1

Passo 5

Somando os limites dos dois termos:
lim(x, y) to (1, 0) f(x, y) = 1 + 0 = 1

Resposta

O valor de $ c $ que torna $ f $ contínua em c é $ c = 1 $.

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