Usando as propriedades, calcule os limites seguintes:
\lim _{(x, y) \rightarrow(-1,2)} \frac{x+y-2}{x^{2}+y^{2}};

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(-1,2)} \frac{x+y-2}{x^{2}+y^{2}}.
Informações dadas:
  • A função é F(x,y)=\dfrac{x+y-2}{x^{2}+y^{2}}.
  • O ponto de interesse é (-1,2).
    O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite quando (x,y) tende a (-1,2).

Passo 2

Ideia chave (propriedade que vou usar): polinômios são funções contínuas em todo \mathbb{R}^2. Além disso, se f e g têm limite em um ponto e \lim g\neq 0, então
\lim \frac{f}{g}=\frac{\lim f}{\lim g}.
Em outras palavras, somas, produtos e quocientes (quando o limite do denominador não é zero) preservam limites. Isso permite calcular limites de quocientes por substituição direta quando o denominador no ponto alvo é diferente de zero.

Passo 3

Calcular o limite do numerador por substituição direta (porque é um polinômio):
\lim_{(x,y)\to(-1,2)} (x+y-2) = (-1)+2-2 = -1.
Aqui cada variável é simplesmente avaliada no ponto (-1,2).

Passo 4

Calcular o limite do denominador por substituição direta (também polinômio):
\lim_{(x,y)\to(-1,2)} (x^{2}+y^{2}) = (-1)^{2}+2^{2} = 1+4 = 5.
Observação importante: o limite do denominador é \,5\neq 0, então podemos aplicar a propriedade do quociente dos limites.

Passo 5

Aplicando a propriedade do quociente:
\lim_{(x,y)\to(-1,2)} \frac{x+y-2}{x^{2}+y^{2}} = \frac{\displaystyle\lim_{(x,y)\to(-1,2)}(x+y-2)}{\displaystyle\lim_{(x,y)\to(-1,2)}(x^{2}+y^{2})} = \frac{-1}{5}.
Isso conclui o cálculo do limite. Se quiser decorar um truque: sempre tente primeiro substituir; se o denominador não for zero, a substituição direta funciona porque polinômios são contínuos.

Resposta

-\dfrac{1}{5}

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