Calcule os seguintes limites de funções vetoriais, se existirem:
lim t infty(e^-t i+1t j+t^1 / t k)

Passo 1

O enunciado pede o limite quando ttoinfty da função vetorial
r(t)=e^-t,i+1t,j+t^1/t,k
Para resolver, vamos usar que o limite de uma função vetorial é o vetor dos limites das componentes, desde que cada um desses limites exista.

Passo 2

Calculamos a primeira componente:
limttoinftye^-t
Como a função exponencial decai muito rápido, temos
limttoinftye^-t=0

Passo 3

Agora a segunda componente:
limttoinfty1t
Sabemos que, à medida que t cresce sem limite, tfrac1t vai a zero. Logo,
limttoinfty1t=0

Passo 4

Finalmente, a terceira componente:
limttoinftyt^1/t
Para estudar esse limite, escrevemos
t^1/t=e^ln(t^1/t)=e^ln tt
Como limttoinftyln tt=0 (pois o log cresce muito mais devagar que t), vem
limttoinftyt^1/t=e^0=1

Passo 5

Juntando as três componentes, o limite da função vetorial é
0,i+0,j+1,k=k

Resposta

limttoinftyl(e^-ti+tfrac1tj+t^1/tkr)=k

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