1. Dada a função f(x)=\frac{(6-2 x) \sqrt{(x-1)^{2}}}{\sqrt{(x-1)^{2}}}.
    i.Determine \quad \lim _{x \rightarrow 1} f(x);
    ii.É possível definir f(x) em x=1 de modo que ela seja contínua neste ponto? Se for, quanto deve valer f(1) ?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{(6-2x)\sqrt{(x-1)^2}}{\sqrt{(x-1)^2}}
e pede duas coisas:
  1. Determinar \displaystyle \lim_{x\to 1} f(x).
  2. Dizer se é possível definir f(1) de modo que f seja contínua em x=1; se for, qual valor deve ter f(1).
Informações relevantes fornecidas: a presença de \sqrt{(x-1)^2} no numerador e no denominador (o que sugere a identidade envolvendo valor absoluto) e o fato de que em x=1 tanto numerador quanto denominador se anulam, levando potencial indeterminação.

Passo 2

Explicação da identidade usada (aula rápida): para todo número real t vale
\sqrt{t^2}=|t|.
Aqui t=x-1, logo
\sqrt{(x-1)^2}=|x-1|.
Significado: |x-1| é a distância de x a 1; é sempre não negativa e satisfaz a definição
|x-1|=\begin{cases} x-1, & x\ge 1,\\[4pt] -(x-1), & x<1. \end{cases}]

Passo 3

Simplificação algébrica para x\neq 1: como |x-1|>0 quando x\neq 1, pode-se dividir numerador e denominador por |x-1|. Substituindo a identidade do passo anterior,
f(x)=\frac{(6-2x)\,|x-1|}{|x-1|} \quad\text{para }x\neq 1.
Dividindo por |x-1| (válido porque não é zero quando x\neq 1),
f(x)=6-2x\qquad\text{para }x\neq 1.

Passo 4

Cálculo do limite usando a forma simplificada: a função que interessa para o cálculo do limite é 6-2x perto de x=1. Como 6-2x é uma função polinomial (continua em todo ponto), basta substituir x=1 no polinômio:
\lim_{x\to 1} f(x)=\lim_{x\to 1} (6-2x)=6-2\cdot 1=4.
Comentário didático: outra forma é calcular limites laterais. Para x>1 temos |x-1|=x-1 e portanto f(x)=(6-2x)(x-1)/(x-1)=6-2x. Para x<1 temos |x-1|=-(x-1) e novamente f(x)=(6-2x) após cancelamento. Ambos os lados tendem a 4, confirmando que o limite existe e vale 4.

Passo 5

Análise do valor em x=1 da definição original: na expressão original, ao substituir x=1 o numerador e o denominador ficam 0, ou seja, a forma é 0/0 e f(1) não está definida pela expressão dada. Portanto, inicialmente f(1) é indeterminado.

Passo 6

Critério de continuidade e escolha de f(1): uma função é contínua em x=1 se e somente se o limite de f(x) quando x\to 1 existir e for igual a f(1). Como do passo 4 obtivemos
\lim_{x\to 1} f(x)=4,
podemos tornar f contínua em x=1 definindo
f(1)=4.
Com essa definição, o valor da função no ponto coincide com o limite, satisfazendo a definição de continuidade.

Passo 7

Resumo final: o limite existe e vale 4. A função original não está definida em x=1, mas basta definir f(1)=4 para que f seja contínua em x=1.

Resposta

i. \displaystyle \lim_{x\to 1} f(x)=4
ii. Sim. f(1)=4

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