- Dada a função
.
i.Determine
;
ii.É possível definir
em
de modo que ela seja contínua neste ponto? Se for, quanto deve valer
?
i.Determine
ii.É possível definir
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Determinar
. - Dizer se é possível definir
de modo que seja contínua em ; se for, qual valor deve ter .
Informações relevantes fornecidas: a presença de
no numerador e no denominador (o que sugere a identidade envolvendo valor absoluto) e o fato de que em
tanto numerador quanto denominador se anulam, levando potencial indeterminação.
Passo 2
Explicação da identidade usada (aula rápida): para todo número real
vale
Aqui
, logo
Significado:
é a distância de
a
; é sempre não negativa e satisfaz a definição
Passo 3
Simplificação algébrica para
: como
quando
, pode-se dividir numerador e denominador por
. Substituindo a identidade do passo anterior,
Dividindo por
(válido porque não é zero quando
),
Passo 4
Cálculo do limite usando a forma simplificada: a função que interessa para o cálculo do limite é
perto de
. Como
é uma função polinomial (continua em todo ponto), basta substituir
no polinômio:
Comentário didático: outra forma é calcular limites laterais. Para
temos
e portanto
. Para
temos
e novamente
após cancelamento. Ambos os lados tendem a
, confirmando que o limite existe e vale
.
Passo 5
Análise do valor em
da definição original: na expressão original, ao substituir
o numerador e o denominador ficam
, ou seja, a forma é
e
não está definida pela expressão dada. Portanto, inicialmente
é indeterminado.
Passo 6
Critério de continuidade e escolha de
: uma função é contínua em
se e somente se o limite de
quando
existir e for igual a
. Como do passo 4 obtivemos
podemos tornar
contínua em
definindo
Com essa definição, o valor da função no ponto coincide com o limite, satisfazendo a definição de continuidade.
Passo 7
Resumo final: o limite existe e vale
. A função original não está definida em
, mas basta definir
para que
seja contínua em
.
Resposta
i.
ii. Sim.