Calcule os seguintes limites:
f) \lim _{z \rightarrow i} \frac{z^{2}+1}{z^{6}+1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{z\to i}\frac{z^{2}+1}{z^{6}+1}.
Informações dadas e o que está sendo pedido:
  • A variável é z, que pode ser complexa.
  • É preciso estudar o comportamento da função \dfrac{z^{2}+1}{z^{6}+1} quando z se aproxima de i.
  • O objetivo final é encontrar um número complexo (ou real) que seja esse limite.

Passo 2

Primeiro vamos avaliar numerador e denominador em z=i para ver se a expressão tem forma indeterminada.
Calcular:
i^{2}+1 = (-1)+1 = 0,
i^{6}+1 = (i^{4})(i^{2})+1 = 1\cdot(-1)+1 = -1+1=0.
Portanto ao substituirmos z=i obtemos a forma indeterminada 0/0. Isso indica que devemos investigar a multiplicidade das raízes em numerador e denominador e possivelmente cancelar fatores comuns.

Passo 3

Fatoramos o numerador para entender melhor a raiz em z=i:
z^{2}+1=(z-i)(z+i).
Assim o numerador tem um fator (z-i), ou seja, tem raiz simples em z=i se a outra fatoração não anular o fator restante em z=i.

Passo 4

Verificamos que z=i é também raiz do denominador porque i^{6}+1=0 (já calculado). Para saber se é uma raiz simples (multiplicidade 1) no denominador, calculamos a derivada do polinômio Q(z)=z^{6}+1:
Q'(z)=6z^{5}.
Avaliando em z=i:
Q'(i)=6i^{5}.
Como i^{5}=i^{4}\cdot i=1\cdot i=i, obtemos Q'(i)=6i\neq 0. Isso mostra que z=i é uma raiz simples de z^{6}+1.
No numerador, a derivada de P(z)=z^{2}+1 é
P'(z)=2z,
e P'(i)=2i\neq0, ou seja, z=i é também uma raiz simples do numerador.

Passo 5

Quando temos a forma indeterminada 0/0 com P e Q polinomiais (ou funções holomorfas) e ambas têm raiz simples em z=a, uma maneira prática de obter o limite é usar a regra de l’Hôpital (válida também no contexto complexo para funções diferenciáveis) ou então cancelar o fator comum (z-i). A regra de l’Hôpital diz que
\lim_{z\to i}\frac{P(z)}{Q(z)} = \frac{P'(i)}{Q'(i)}
desde que P(i)=Q(i)=0 e Q'(i)\neq0. Aqui já verificamos essas condições.

Passo 6

Aplicando a regra de l’Hôpital (ou equivalently cancelando o fator comum) calculamos:
\frac{P'(i)}{Q'(i)}=\frac{2i}{6i^{5}}.
Como i^{5}=i, isso vira
\frac{2i}{6i}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.

Passo 7

Resumo do raciocínio prático que se pode usar numa prova: identificar que há 0/0, verificar que as raízes em numerador e denominador são simples (derivadas não nulas em i), então aplicar a regra de l’Hôpital (ou fatorar e cancelar (z-i)) e avaliar o quociente das derivadas em i.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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