Calcule os seguintes limites:
f)
f)
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e o que está sendo pedido:
- A variável é
, que pode ser complexa. - É preciso estudar o comportamento da função
quando se aproxima de . - O objetivo final é encontrar um número complexo (ou real) que seja esse limite.
Passo 2
Primeiro vamos avaliar numerador e denominador em
para ver se a expressão tem forma indeterminada.
Calcular:
Calcular:
Portanto ao substituirmos
obtemos a forma indeterminada
. Isso indica que devemos investigar a multiplicidade das raízes em numerador e denominador e possivelmente cancelar fatores comuns.
Passo 3
Fatoramos o numerador para entender melhor a raiz em
:
Assim o numerador tem um fator
, ou seja, tem raiz simples em
se a outra fatoração não anular o fator restante em
.
Passo 4
Verificamos que
é também raiz do denominador porque
(já calculado). Para saber se é uma raiz simples (multiplicidade 1) no denominador, calculamos a derivada do polinômio
:
Avaliando em
:
Como
, obtemos
. Isso mostra que
é uma raiz simples de
.
No numerador, a derivada de é
No numerador, a derivada de
e
, ou seja,
é também uma raiz simples do numerador.
Passo 5
Quando temos a forma indeterminada
com
e
polinomiais (ou funções holomorfas) e ambas têm raiz simples em
, uma maneira prática de obter o limite é usar a regra de l’Hôpital (válida também no contexto complexo para funções diferenciáveis) ou então cancelar o fator comum
. A regra de l’Hôpital diz que
desde que
e
. Aqui já verificamos essas condições.
Passo 6
Aplicando a regra de l’Hôpital (ou equivalently cancelando o fator comum) calculamos:
Como
, isso vira
Passo 7
Resumo do raciocínio prático que se pode usar numa prova: identificar que há
, verificar que as raízes em numerador e denominador são simples (derivadas não nulas em
), então aplicar a regra de l’Hôpital (ou fatorar e cancelar
) e avaliar o quociente das derivadas em
.