Calcule os seguintes limites:
c) \lim _{z \rightarrow 2 i} \frac{z^{2}-i z+2}{z^{2}+4}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{z\to 2i}\frac{z^{2}-iz+2}{z^{2}+4}.
Vou listar claramente o que temos: é uma função racional em z (variável complexa). Primeiro verifiquemos o valor direto ao substituir z=2i:
(2i)^{2}-i(2i)+2 = -4 -2i^{2}+2 = -4+2+2 = 0,
e
(2i)^{2}+4 = -4+4 = 0.
Portanto ao substituir obtemos a forma indeterminada 0/0. Isso indica que ou existe um fator comum (z-2i) que pode ser cancelado (caso de singularidade removível) ou há um pólo (se o numerador não anula). Precisamos fatorar e simplificar para decidir.

Passo 2

Vamos fatorar o denominador e ver suas raízes. Observe que
z^{2}+4 = z^{2}-(2i)^{2} = (z-2i)(z+2i).
Como o denominador tem o fator (z-2i), para que a indeterminação seja removível o numerador também deve ter esse fator. Já verificamos que z=2i anula o numerador, então (z-2i) é um fator do numerador. Vamos retirar esse fator explicitamente.

Passo 3

Fatoração do numerador z^{2}-iz+2. Como sabemos que (z-2i) é fator, escrevemos
z^{2}-iz+2=(z-2i)(z+a),
e determinamos o número complexo a comparando coeficientes. Expandindo:
(z-2i)(z+a)=z^{2}+(a-2i)z-2i a.
Comparando com z^{2}-iz+2 obtemos o sistema para os coeficientes do termo em z e o termo constante:
a-2i = -i,\qquad -2i a = 2.
Da primeira equação a = -i+2i = i. Verificando na segunda: -2i\cdot i = -2i^{2}=2, consistente. Logo
z^{2}-iz+2=(z-2i)(z+i).

Passo 4

Agora fazemos a simplificação do quociente, cancelando o fator comum (z-2i) (válido para z\neq 2i):
\frac{z^{2}-iz+2}{z^{2}+4}=\frac{(z-2i)(z+i)}{(z-2i)(z+2i)}=\frac{z+i}{z+2i},\qquad z\neq 2i.
Como \frac{z+i}{z+2i} é uma função contínua em z=2i (o denominador aí é 4i\neq0), o limite quando z\to2i é o valor dessa função no ponto. Substituindo z=2i obtemos
\frac{2i+i}{2i+2i}=\frac{3i}{4i}.

Passo 5

Podemos simplificar \dfrac{3i}{4i} cancelando o fator i não-nulo, o que dá a resposta final. Bom trabalho — esse tipo de limite é sempre feito fatorando e cancelando o fator responsável pela indeterminação; quando sobra uma função contínua, basta avaliar no ponto. Você está indo bem, continue praticando!

Resposta

\dfrac{3}{4}

Exercícios relacionados