Calcule os seguintes limites:
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede o limite
Vou listar claramente o que temos: é uma função racional em
(variável complexa). Primeiro verifiquemos o valor direto ao substituir
:
e
Portanto ao substituir obtemos a forma indeterminada
. Isso indica que ou existe um fator comum
que pode ser cancelado (caso de singularidade removível) ou há um pólo (se o numerador não anula). Precisamos fatorar e simplificar para decidir.
Passo 2
Vamos fatorar o denominador e ver suas raízes. Observe que
Como o denominador tem o fator
, para que a indeterminação seja removível o numerador também deve ter esse fator. Já verificamos que
anula o numerador, então
é um fator do numerador. Vamos retirar esse fator explicitamente.
Passo 3
Fatoração do numerador
. Como sabemos que
é fator, escrevemos
e determinamos o número complexo
comparando coeficientes. Expandindo:
Comparando com
obtemos o sistema para os coeficientes do termo em
e o termo constante:
Da primeira equação
. Verificando na segunda:
, consistente. Logo
Passo 4
Agora fazemos a simplificação do quociente, cancelando o fator comum
(válido para
):
Como
é uma função contínua em
(o denominador aí é
), o limite quando
é o valor dessa função no ponto. Substituindo
obtemos
Passo 5
Podemos simplificar
cancelando o fator
não-nulo, o que dá a resposta final. Bom trabalho — esse tipo de limite é sempre feito fatorando e cancelando o fator responsável pela indeterminação; quando sobra uma função contínua, basta avaliar no ponto. Você está indo bem, continue praticando!