Calcule os seguintes limites:
h) lim x 0 raiz1+x-raiz1-xraiz[3]1+x-raiz[3]1-x

Passo 1

Resumo do enunciado: calcular o limite limxto0 raiz1+x-raiz1-xraiz[3]1+x-raiz[3]1-x. Conteúdo: limites de indeterminação 0/0 e aplicação da Regra de l’Hôpital.

Passo 2

Verificamos que substituindo x=0 o numerador e o denominador são ambos zero, pois raiz1+0-raiz1-0=0 e raiz[3]1+0-raiz[3]1-0=0, caracterizando a forma indeterminada 0/0.

Passo 3

Aplicamos a Regra de l’Hôpital diferenciando numerador e denominador. A derivada do numerador é
ddxl(raiz1+x-raiz1-xr) =12raiz1+x + 12raiz1-x
E a derivada do denominador é
ddxl(raiz[3]1+x-raiz[3]1-xr) =13(1+x)^2/3 + 13(1-x)^2/3

Passo 4

Avaliamos as derivadas em x=0:
Dn(0)=tfrac12+tfrac12=1
e Dd(0)=tfrac13+tfrac13=tfrac23.

Passo 5

A razão das derivadas em x=0 é Dn(0)Dd(0) = 12/3.

Resposta

3/2

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