3- (Técnicas de construção de gráficos - 5,0 pontos) Dada a função
f(x)=x^4+x^33-4 x^2
c) determine os intervalos de decrescimento;

Passo 1

O enunciado pede para achar os intervalos em que a função f(x)=x⁴+\frac{x³}{3}−4x² está decrescendo. Isso faz parte de análise de funções usando derivadas: vamos precisar calcular f '(x), achar os pontos críticos e estudar o sinal de f '(x).

Passo 2

Para determinar crescimento ou decrescimento usamos que f está decrescente quando sua derivada é negativa. Então primeiro calculamos a derivada:
A derivada de f é
f'(x)=4x³+ x²−8x³²

Passo 3

Em seguida fatoramos f’(x) para facilitar o estudo de sinais:
f'(x)=x,(4x²+x−8)²

Passo 4

Agora encontramos as raízes de f’(x)=0. Uma raiz óbvia é x=0 e as outras vêm de 4x²+x−8=0, cujas soluções são
x=-1pmraiz1+1288=-1pmraiz1298

Passo 5

Chamando
alpha=-1-raiz1298 e beta=-1+raiz1298,

Passo 6

ordenamos as raízes como α<0<β. Para estudar o sinal de f’(x), fazemos o quadro de sinais considerando o fator x e o trinômio 4x²+x−8: em x<α o trinômio é positivo, de α a β é negativo, e acima de β volta a ser positivo.
Multiplicando pelo sinal de x obtemos que f’(x)<0 para x∈(-∞,α) e para x∈(0,β). Portanto são esses os intervalos de decrescimento.

Resposta

f está decrescente em (-infty,,-1-raiz1298)cup(0,,-1+raiz1298).

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