3- (Técnicas de construção de gráficos - 5,0 pontos) Dada a função
c) determine os intervalos de decrescimento;
Passo 1
O enunciado pede para achar os intervalos em que a função f(x)=x⁴+\frac{x³}{3}−4x² está decrescendo. Isso faz parte de análise de funções usando derivadas: vamos precisar calcular f '(x), achar os pontos críticos e estudar o sinal de f '(x).
Passo 2
Para determinar crescimento ou decrescimento usamos que f está decrescente quando sua derivada é negativa. Então primeiro calculamos a derivada:
A derivada de f é
A derivada de f é
Passo 3
Em seguida fatoramos f’(x) para facilitar o estudo de sinais:
Passo 4
Agora encontramos as raízes de f’(x)=0. Uma raiz óbvia é x=0 e as outras vêm de 4x²+x−8=0, cujas soluções são
Passo 5
Chamando
Passo 6
ordenamos as raízes como α<0<β. Para estudar o sinal de f’(x), fazemos o quadro de sinais considerando o fator x e o trinômio 4x²+x−8: em x<α o trinômio é positivo, de α a β é negativo, e acima de β volta a ser positivo.
Multiplicando pelo sinal de x obtemos que f’(x)<0 para x∈(-∞,α) e para x∈(0,β). Portanto são esses os intervalos de decrescimento.
Multiplicando pelo sinal de x obtemos que f’(x)<0 para x∈(-∞,α) e para x∈(0,β). Portanto são esses os intervalos de decrescimento.
Resposta
f está decrescente em
.