3- (Técnicas de construção de gráficos - 5,0 pontos) Dada a função
a) ache os extremos relativos de
pelo teste da derivada segunda;
Passo 1
Beleza, temos a função
. O objetivo aqui é encontrar os extremos relativos dessa função usando o teste da derivada segunda. Basicamente, queremos descobrir onde a função atinge seus pontos mais altos (máximos) ou mais baixos (mínimos) locais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada de
, que nos ajudará a identificar os pontos críticos. A derivada nos diz a taxa de variação da função.
Calculando termo a termo:
Passo 3
Agora, encontramos os pontos críticos resolvendo
:
Isso nos dá uma solução imediata
. Para os demais:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
,
:
Então, temos três pontos críticos:
Passo 4
Agora, precisamos da segunda derivada
para aplicar o teste da derivada segunda, que nos dirá se esses pontos críticos são máximos ou mínimos.
Passo 5
Aplicamos o teste da derivada segunda em cada ponto crítico:
-
Para
: Como, a função é côncava para baixo nesse ponto, indicando um máximo relativo. -
Para
:
Calculando, teremos um valor positivo, indicando que a função é côncava para cima, ou seja, um mínimo relativo. -
Para
:
Similarmente,será positivo, indicando também um mínimo relativo.
Resposta
Os extremos relativos da função são:
- Máximo relativo em
. - Mínimos relativos em
e .