3- (Técnicas de construção de gráficos - 5,0 pontos) Dada a função
f(x)=x^4+x^33-4 x^2
a) ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada segunda;

Passo 1

Beleza, temos a função . O objetivo aqui é encontrar os extremos relativos dessa função usando o teste da derivada segunda. Basicamente, queremos descobrir onde a função atinge seus pontos mais altos (máximos) ou mais baixos (mínimos) locais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada de f'(x) = ddx( x^4 + x^33 - 4x^2 ) , que nos ajudará a identificar os pontos críticos. A derivada nos diz a taxa de variação da função.
f'(x) = 4x^3 + 3x^23 - 8x
Calculando termo a termo:
f'(x) = 4x^3 + x^2 - 8x

Passo 3

Agora, encontramos os pontos críticos resolvendo 4x^3 + x^2 - 8x = 0 :
x(4x^2 + x - 8) = 0
4x^2 + x - 8 = 0
Isso nos dá uma solução imediata x = -b pm raizb^2 - 4ac 2a . Para os demais:
x = -1 pm raiz1 + 128 8
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
x = -1 pm raiz129 8
Onde x = 0 , x = -1 + raiz129 8 , x = -1 - raiz129 8 :
Então, temos três pontos críticos:

Passo 4

Agora, precisamos da segunda derivada f''(x) = ddx( 4x^3 + x^2 - 8x ) para aplicar o teste da derivada segunda, que nos dirá se esses pontos críticos são máximos ou mínimos.
f''(x) = 12x^2 + 2x - 8

Passo 5

Aplicamos o teste da derivada segunda em cada ponto crítico:
  1. Para f''(0) = 12(0)^2 + 2(0) - 8 = -8 :
    Como , a função é côncava para baixo nesse ponto, indicando um máximo relativo.
  2. Para :
    Calculando , teremos um valor positivo, indicando que a função é côncava para cima, ou seja, um mínimo relativo.
  3. Para :
    Similarmente, será positivo, indicando também um mínimo relativo.

Resposta

Os extremos relativos da função são:
  • Máximo relativo em .
  • Mínimos relativos em e .

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