Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, justifique sua resposta. Caso contrário, explique o por quê ou dê um contra-exemplo.
Se 0 <= rho1 <= rho2, 0 <= theta1 <= theta2 <= 2 pi e 0 <= phi1 <= phi2 <= pi, então o volume da cunha esférica limitada pelas esferas rho=rho1 e rho=rho2 e os semiplanos theta=theta1 e theta=theta2 e as folhas de cone phi=phi1 e phi=phi2 será integraltheta1^theta2 integralphi1^phi2 integralrho1 rho^2 sen phi d rho d phi d theta.

Passo 1

O enunciado pede pra verificar se o volume da cunha esférica é dado pela integral tríplice em coordenadas esféricas com ρ variando de ρ₁ a ρ₂, φ de φ₁ a φ₂ e θ de θ₁ a θ₂. O conteúdo aqui é volume em coordenadas esféricas, e vamos precisar do jacobiano dessas coordenadas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, o diferencial de volume é dado por
dV = rho^2 sinphi,drho,dphi,dtheta
Isso vem da transformação do volume cartesiano para esférico.

Passo 3

A região descrita tem ρ variando de ρ₁ a ρ₂, φ de φ₁ a φ₂ e θ de θ₁ a θ₂. Como todos os limites são independentes, o volume é a integral do jacobiano sobre esses intervalos.

Passo 4

Montando a integral, obtemos
V = integraltheta1^theta2integralphi1^phi2integralrho1^rho2 rho^2 sinphi,drho,dphi,dtheta
que é exatamente a expressão dada no enunciado.

Passo 5

Portanto a fórmula apresentada coincide com a definição de volume em coordenadas esféricas aplicada àquela região.

Resposta

Verdadeira

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