Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, justifique sua resposta. Caso contrário, explique o por quê ou dê um contra-exemplo.
Se
e
, então o volume da cunha esférica limitada pelas esferas
e
e os semiplanos
e
e as folhas de cone
e
será
.
Se
Passo 1
O enunciado pede pra verificar se o volume da cunha esférica é dado pela integral tríplice em coordenadas esféricas com ρ variando de ρ₁ a ρ₂, φ de φ₁ a φ₂ e θ de θ₁ a θ₂. O conteúdo aqui é volume em coordenadas esféricas, e vamos precisar do jacobiano dessas coordenadas.
Passo 2
Em coordenadas esféricas, o diferencial de volume é dado por
Isso vem da transformação do volume cartesiano para esférico.
Passo 3
A região descrita tem ρ variando de ρ₁ a ρ₂, φ de φ₁ a φ₂ e θ de θ₁ a θ₂. Como todos os limites são independentes, o volume é a integral do jacobiano sobre esses intervalos.
Passo 4
Montando a integral, obtemos
que é exatamente a expressão dada no enunciado.
Passo 5
Portanto a fórmula apresentada coincide com a definição de volume em coordenadas esféricas aplicada àquela região.
Resposta
Verdadeira