Calcule os seguintes limites :
g.
g.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas: a expressão é a função racional
e a variável
tende para
.
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): se duas funções
e
têm limite quando
e o limite de
em
é diferente de zero, então o limite do quociente é o quociente dos limites:
Além disso, polinômios são funções contínuas em todo lugar — isso quer dizer que para um polinômio
vale
. A soma e o produto de funções contínuas são contínuos, e a divisão também é contínua onde o denominador não é zero. Em palavras mais simples: para funções racionais como
, se ao substituir
o denominador não virar zero, podemos simplesmente substituir
para obter o limite.
Passo 3
Aplicando a ideia acima ao nosso caso: avaliamos numerador e denominador em
.
Numerador:
Denominador:
Observe que o denominador é
, ou seja, diferente de zero — então não há problema em fazer a substituição direta.
Passo 4
Agora, usando a propriedade do quociente de limites (ou simplesmente substituindo, já que a função é contínua em
porque o denominador não é zero), obtemos
Intuição curta: quando
fica bem próximo de
,
e
ficam muito pequenos, então a fração fica muito próxima de
.
Passo 5
Exemplo rápido para fixar (mais didático): se tivéssemos
, poderíamos substituir
porque o denominador seria
, e obteríamos
. Isso reforça a regra de substituição direta quando o denominador no ponto não zera.