Calcule os seguintes limites :
g. \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}+2}{x+1}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}+2}{x+1}.
Informações dadas: a expressão é a função racional \frac{x^{2}+2}{x+1} e a variável x tende para \,0.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): se duas funções f e g têm limite quando x \to a e o limite de g em a é diferente de zero, então o limite do quociente é o quociente dos limites:
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)},\quad\text{desde que }\lim_{x\to a}g(x)\neq 0.
Além disso, polinômios são funções contínuas em todo lugar — isso quer dizer que para um polinômio p(x) vale \lim_{x\to a}p(x)=p(a). A soma e o produto de funções contínuas são contínuos, e a divisão também é contínua onde o denominador não é zero. Em palavras mais simples: para funções racionais como \frac{x^{2}+2}{x+1}, se ao substituir x=a o denominador não virar zero, podemos simplesmente substituir x=a para obter o limite.

Passo 3

Aplicando a ideia acima ao nosso caso: avaliamos numerador e denominador em x=0.
Numerador:
\text{num} = 0^{2}+2 = 0 + 2 = 2.
Denominador:
\text{den} = 0 + 1 = 1.
Observe que o denominador é \,1, ou seja, diferente de zero — então não há problema em fazer a substituição direta.

Passo 4

Agora, usando a propriedade do quociente de limites (ou simplesmente substituindo, já que a função é contínua em x=0 porque o denominador não é zero), obtemos
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}+2}{x+1} = \frac{2}{1} = 2.
Intuição curta: quando x fica bem próximo de 0, x^{2} e x ficam muito pequenos, então a fração fica muito próxima de \frac{2}{1}=2.

Passo 5

Exemplo rápido para fixar (mais didático): se tivéssemos \lim_{x\to 1}\frac{x^{2}+2}{x+1}, poderíamos substituir x=1 porque o denominador seria 1+1=2\neq 0, e obteríamos \frac{1^{2}+2}{1+1}=\frac{3}{2}. Isso reforça a regra de substituição direta quando o denominador no ponto não zera.

Resposta

2

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