Calcule os seguintes limites, identificando o tipo da indeterminação:
lim t 0 sen^2 t-cos t+1t tg t

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite limtto 0sin^2 t - cos t + 1ttan t. Esse é um problema de limites trigonométricos que apresenta indeterminação do tipo 0/0, e a gente vai usar a regra de l’Hôpital para resolver.

Passo 2

Primeiro, avaliamos o numerador e o denominador separadamente quando tto 0: no numerador temos sin^2 0 - cos 0 + 1 = 0 - 1 + 1 = 0 e no denominador 0cdottan 0 = 0. Logo é uma indeterminação 0/0, condição para aplicar l’Hôpital.

Passo 3

Aplicamos l’Hôpital pela primeira vez: derivamos o numerador e o denominador. Numerador f(t)=sin^2 t - cos t +1 têm derivada f'(t)=2sin tcos t + sin t=sin 2t + sin t. Denominador g(t)=ttan t têm derivada g'(t)=tan t + tsec^2 t. Avaliando em tto 0 ainda dá 0/0.

Passo 4

Repetimos l’Hôpital pela segunda vez: derivada de f'(t)=sin 2t + sin t é f''(t)=2cos 2t + cos t. Derivada de g'(t)=tan t + tsec^2 t é g''(t)=2sec^2 t + 2tsec^2 ttan t. Avaliando em t=0 obtemos f''(0)=2cdot1 +1=3 e g''(0)=2cdot1+0=2.

Passo 5

Como após duas aplicações de l’Hôpital o limite passa a ser f''(0)/g''(0), concluímos que limtto0sin^2 t - cos t + 1ttan t=32.

Resposta

32

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