Calcule os seguintes limites no infinito:
lim x -infty x^9+1x^9+x^6+x^4+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite quando x tende a menos infinito de uma função racional. O conteúdo é limite de funções racionais no infinito e vamos precisar identificar o termo de maior grau em numerador e denominador para simplificar.

Passo 2

Em limites no infinito de uma razão de polinômios, o comportamento é determinado pelos termos de maior grau. Aqui tanto no numerador quanto no denominador o termo de maior grau é x^9.

Passo 3

Fatoramos x^9 de numerador e denominador. Assim temos:
x^9+1x^9+x^6+x^4+1 = x^9l(1 + 1x^9r)x^9l(1 + 1x^3 + 1x^5 + 1x^9r)

Passo 4

Cancelamos o fator x^9 (que é negativo para x→−∞, mas se anula na razão) ficando:
1 + 1x^91 + 1x^3 + 1x^5 + 1x^9
À medida que x→−∞, todos os termos 1/x^k tendem a zero. Logo o numerador tende a 1 e o denominador também tende a 1.

Passo 5

Concluímos que o limite é 1.

Resposta

1

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