Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções y1 e y2 (a menos que a série termine antes).
y^prime prime-x y^prime-y=0, x0=0

Passo 1

A equação dada é y'' - x y' - y = 0 em torno de x0=0. O conteúdo é série de potências em torno de zero e vamos precisar assumir uma solução do tipo y=sumn=0^infty an x^n, calcular y' e y'', e impor o acréscimo de potências para obter uma relação de recorrência entre os coeficientes.

Passo 2

Considerando y=sumn=0^infty an x^n, temos em bloco as derivadas:
y'=sumn=1^infty n an x^n-1=sumn=0^infty (n+1)an+1x^n
y''=sumn=2^infty n(n-1)an x^n-2=sumn=0^infty (n+2)(n+1)an+2x^n

Passo 3

Substituindo na equação y'' - x y' - y = 0 e alinhando as potências de x^n, obtemos para n>=1:
(n+2)(n+1)an+2 - (n+1)an = 0
e para n=0:
2cdot1,a2 - a0 = 0

Passo 4

Logo, a relação geral de recorrência é
an+2=ann+2, n>=0

Passo 5

Como a equação é de segunda ordem, temos duas constantes livres a0 e a1. Definimos duas soluções independentes:
(i) tomar a0=1, a1=0 gera a solução par y1,
(ii) tomar a0=0, a1=1 gera a solução ímpar y2.
Usando a recorrência em cada caso, calculamos até o quarto termo não nulo em cada série:

Resposta

y_{1}(x)=1+\tfrac12x2+\tfrac18x4+\tfrac1{48}x^6+\cdots,
y_{2}(x)=x+\tfrac13x3+\tfrac1{15}x5+\tfrac1{105}x^7+\cdots

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