Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções
e
(a menos que a série termine antes).
Passo 1
A equação dada é
em torno de
. O conteúdo é série de potências em torno de zero e vamos precisar assumir uma solução do tipo
, calcular
e
, e impor o acréscimo de potências para obter uma relação de recorrência entre os coeficientes.
Passo 2
Considerando
, temos em bloco as derivadas:
Passo 3
Substituindo na equação
e alinhando as potências de
, obtemos para
:
e para
Passo 4
Logo, a relação geral de recorrência é
Passo 5
Como a equação é de segunda ordem, temos duas constantes livres
e
. Definimos duas soluções independentes:
(i) tomar gera a solução par
,
(ii) tomar gera a solução ímpar
.
Usando a recorrência em cada caso, calculamos até o quarto termo não nulo em cada série:
(i) tomar
(ii) tomar
Usando a recorrência em cada caso, calculamos até o quarto termo não nulo em cada série:
Resposta
y_{1}(x)=1+\tfrac12x2+\tfrac18x4+\tfrac1{48}x^6+\cdots,
y_{2}(x)=x+\tfrac13x3+\tfrac1{15}x5+\tfrac1{105}x^7+\cdots