Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{2}{x}\Bigr)^{x}.
O conteúdo principal aqui é o estudo de limites do tipo exponencial que definem a função e^t. Vamos usar a reescrita em termos de logaritmo e exponencial.

Passo 2

Reescrevemos a expressão usando a função exponencial e o logaritmo natural, que são inversas:
\Bigl(1+\frac{2}{x}\Bigr)^{x} = \exp\Bigl(x\ln\bigl(1+\tfrac{2}{x}\bigr)\Bigr).
Para achar o limite, basta determinar
L = \lim_{x\to+\infty} x\ln\Bigl(1+\tfrac{2}{x}\Bigr)
e então usar
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\tfrac{2}{x}\Bigr)^{x} = \exp(L).

Passo 3

Para calcular
L = \lim_{x\to+\infty} x\ln\Bigl(1+\tfrac{2}{x}\Bigr)
observamos que é um caso do tipo 0/0 se reescrevermos
x\ln\Bigl(1+\tfrac{2}{x}\Bigr) = \frac{\ln\bigl(1+\tfrac{2}{x}\bigr)}{\tfrac{1}{x}}.
Aplicando a regra de L’Hôpital:
L = \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\bigl(1+\tfrac{2}{x}\bigr)}{1/x} = \lim_{x\to+\infty} \frac{\dfrac{d}{dx}\ln\bigl(1+\tfrac{2}{x}\bigr)} {\dfrac{d}{dx}(1/x)}.
Calculamos as derivadas:
\frac{d}{dx}\ln\Bigl(1+\tfrac{2}{x}\Bigr) = -\frac{2}{x^2+2x},\qquad \frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr) = -\frac{1}{x^2}.
Logo,
L = \lim_{x\to+\infty} \frac{-2/(x^2+2x)}{-1/x^2} = \lim_{x\to+\infty}\frac{2x^2}{x^2+2x} = \lim_{x\to+\infty}\frac{2}{1+2/x} = 2.

Passo 4

Como L=2, temos
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\tfrac{2}{x}\Bigr)^{x} = \exp(L) = e^{2}.

Resposta

e^{2}

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