Calcule os seguintes limites no infinito
lim x +infty(1+3x)^x

Passo 1

O enunciado pede o valor de limxto +inftyl(1+tfrac3xr)^x. O conteúdo aqui é limites de forma indeterminada do tipo 1^infty, e vamos usar a transformação logarítmica de exponenciais junto com a regra de L’Hôpital para resolver.

Passo 2

Defina
y = l(1+tfrac3xr)^x
Então
ln y = x,ln!l(1+tfrac3xr),
que é uma indeterminação do tipo inftycdot 0. Reescrevemos como quociente:
ln y = limxto +inftyln!l(1+tfrac3xr)1/x

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hôpital ao quociente, derivamos numerador e denominador em relação a x:
derivada do numerador:
ddxln!l(1+tfrac3xr) = 11+3/x,l(-tfrac3x^2r) = -3x^2,(1+3/x),
derivada do denominador:
ddxl(tfrac1xr) = -1x^2
Logo,
limxto +inftyln!(1+3/x)1/x = limxto +infty-tfrac3x^2(1+3/x)-tfrac1x^2 = limxto +infty31+3/x = 3
Portanto limxto+inftyln y = 3.

Resposta

limxto +inftyl(1+tfrac3xr)^x = e^3

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