Verifique a regra da cadeia d hd t=partial fpartial x d xd t+partial fpartial y d yd t para as funções:
f(x, y)=y e^3 x^2 y, x=3 t, y=2 t+1

Passo 1

O enunciado pede para verificar a regra da cadeia
dhdt = partial fpartial x,dxdt + partial fpartial y,dydt
para
f(x,y)=y,e^3x^2y, x(t)=3t, y(t)=2t+1
Vamos calcular cada termo e mostrar que o lado direito coincide com tfracddt[,f(x(t),y(t))].

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f.
Como
f(x,y)=y,e^3x^2y,
temos por produto e cadeia:
partial fpartial x = ycdot e^3x^2ycdotddx(3x^2y) = y,e^3x^2y,(6xy) = 6x y^2e^3x^2y,
partial fpartial y = e^3x^2y + ycdot e^3x^2ycdotddy(3x^2y) = e^3x^2y + y,e^3x^2y,(3x^2) = l(1+3x^2yr)e^3x^2y

Passo 3

Calcular as derivadas de x(t) e y(t):
dxdt=3, dydt=2

Passo 4

Montar o lado direito da regra da cadeia:
partial fpartial x,dxdt + partial fpartial y,dydt = l(6x y^2e^3x^2yr)cdot3 + l((1+3x^2y)e^3x^2yr)cdot2
Colocando e^3x^2y em evidência:
dhdt = e^3x^2yl(18x y^2+2+6x^2yr) = e^3x^2yl(2+6x^2y+18x y^2r)

Passo 5

Agora substituímos x=3t e y=2t+1. Primeiro o expoente:
3x^2y =3,(3t)^2,(2t+1) =27t^2(2t+1) =54t^3+27t^2
O coeficiente fica
2+6x^2y+18x y^2 =2+6cdot9t^2(2t+1)+18cdot3t,(2t+1)^2
Expandindo:
6cdot9t^2(2t+1)=54t^2(2t+1)=108t^3+54t^2,
18cdot3t,(2t+1)^2=54t,(4t^2+4t+1)=216t^3+216t^2+54t
Somando tudo com o 2:
108t^3+54t^2+216t^3+216t^2+54t+2 =324t^3+270t^2+54t+2

Passo 6

Logo, o lado direito (e portanto tfracdhdt) é
dhdt = l(324t^3+270t^2+54t+2r), e^54t^3+27t^2
Se você derivar diretamente
h(t)=f(3t,2t+1)=(2t+1)e^54t^3+27t^2,
vai obter o mesmo resultado, confirmando a regra da cadeia.

Resposta

dhdt = l(324t^3+270t^2+54t+2r),e^54t^3+27t^2

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