Determine se a sequencia é limitada superiormente ou inferiormente, se é crescente ou decrescente.
E então, usando estes resultados, indique se a sequencia é convergente ou divergente
a) (-1)^n 2 n3 n+1n=1^infty
b) (n!2^n)^nn=1^infty
c) raizn+4-raizn+3n=1^infty
d) 1-2^nnn=1^infty

Passo 1

O enunciado pede, para cada sequência an:
– verificar se há limite superior e/ou inferior (limitação);
– verificar se é monótona (crescente ou decrescente);
– usar esses resultados para concluir se converge (tem limite finito) ou diverge.
Vamos usar estudo de limite de termo geral, testes de monotonicidade (diferença ou razão) e a definição de convergência de sequência.

Passo 2

Considere
an = (-1)^n 2n3n+1
Como limntoinfty2n3n+1=23, as subsequências pares tendem a +tfrac23 e as ímpares a -tfrac23. Logo não existe limite único (diverge).
Para limitação note que
2n3n+1<23e2n3n+1>0,
implicando
-tfrac23 < (-1)^n2n3n+1 < tfrac23
Como os termos alternam de sinal, não é crescente nem decrescente.

Passo 3

Considere
bn = l(n!2^nr)^n
Calculemos
ln bn = nln(n!) - n^2ln 2
Pela fórmula de Stirling ln(n!)sim nln n - n, temos
ln bn sim n^2(ln n -1 -ln2)to +infty,
portanto bnto+infty. Logo não há cota superior, há cota inferior zero (todos os termos são positivos) e a sequência é crescente para todo n>=1 (teste da razão indica bn+1/bn>1 para n>=1). Diverge para +infty.

Passo 4

Considere
cn = raizn+4-raizn+3
Racionalize:
cn = (raizn+4-raizn+3)(raizn+4+raizn+3) raizn+4+raizn+3 = 1raizn+4+raizn+3,
que tende a 0. Como cn>0 e raizn+4+raizn+3 cresce, cn é decrescente. Portanto é limitada entre 0 e c1=raiz5-2 e converge a 0.

Passo 5

Considere
dn = 1 - 2^nn
Como 2^n cresce muito mais rápido que n, limntoinftydn=-infty, logo diverge. Para monotonicidade:
dn+1-dn = 2^nl(-2n+1+1nr) =2^n-n+1n(n+1),
que é negativo para n>=2. Logo, a partir de n=2, dn é decrescente. Há cota superior d1=-1 e não há cota inferior.

Resposta

(a) limitada inferiormente por -tfrac23 e superiormente por tfrac23; não monótona; diverge.
(b) limitada inferiormente por 0 e não limitada superiormente; crescente; diverge para +infty.
(c) limitada entre 0 e raiz5-2; decrescente; converge (limite 0).
(d) limitada superiormente por -1 e não limitada inferiormente; decrescente (para n>=2); diverge para -infty.

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