Determine se a sequencia é limitada superiormente ou inferiormente, se é crescente ou decrescente.
E então, usando estes resultados, indique se a sequencia é convergente ou divergente
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede, para cada sequência
:
– verificar se há limite superior e/ou inferior (limitação);
– verificar se é monótona (crescente ou decrescente);
– usar esses resultados para concluir se converge (tem limite finito) ou diverge.
Vamos usar estudo de limite de termo geral, testes de monotonicidade (diferença ou razão) e a definição de convergência de sequência.
– verificar se há limite superior e/ou inferior (limitação);
– verificar se é monótona (crescente ou decrescente);
– usar esses resultados para concluir se converge (tem limite finito) ou diverge.
Vamos usar estudo de limite de termo geral, testes de monotonicidade (diferença ou razão) e a definição de convergência de sequência.
Passo 2
Considere
Como
, as subsequências pares tendem a
e as ímpares a
. Logo não existe limite único (diverge).
Para limitação note que
Para limitação note que
implicando
Como os termos alternam de sinal, não é crescente nem decrescente.
Passo 3
Considere
Calculemos
Pela fórmula de Stirling
, temos
portanto
. Logo não há cota superior, há cota inferior zero (todos os termos são positivos) e a sequência é crescente para todo
(teste da razão indica
para
). Diverge para
.
Passo 4
Considere
Racionalize:
que tende a
. Como
e
cresce,
é decrescente. Portanto é limitada entre
e
e converge a
.
Passo 5
Considere
Como
cresce muito mais rápido que
,
, logo diverge. Para monotonicidade:
que é negativo para
. Logo, a partir de
,
é decrescente. Há cota superior
e não há cota inferior.
Resposta
(a) limitada inferiormente por
e superiormente por
; não monótona; diverge.
(b) limitada inferiormente por
e não limitada superiormente; crescente; diverge para
.
(c) limitada entre
e
; decrescente; converge (limite
).
(d) limitada superiormente por
e não limitada inferiormente; decrescente (para
); diverge para
.