Calcule os seguintes limites no infinito
lim x +infty(1-2x)^x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto+inftyl(1-2xr)^x
Este tipo de limite é do tipo “ 1+(pequeno) elevado a algo grande”, que costuma levar à constante de Euler. Para tratar isso, vamos usar a reescrita com exponencial e logaritmo.

Passo 2

Reescrevemos a expressão como
l(1-2xr)^x =expl(xlnl(1-tfrac2xr)r)
Então basta calcular o limite do expoente
L = limxto+infty xlnl(1-tfrac2xr)

Passo 3

Para achar L, note que quando xto+infty o termo -tfrac2x é pequeno. Podemos usar a expansão de Taylor de ln(1+u) em torno de u=0:
ln(1+u) = u - u^22 + o(u^2)
Aqui u = -tfrac2x, então
lnl(1-tfrac2xr) = -2x - 12,4x^2 + ol(tfrac1x^2r) = -2x - 2x^2 + ol(tfrac1x^2r)

Passo 4

Multiplicando por x, obtemos
xlnl(1-tfrac2xr) = xl(-tfrac2x - tfrac2x^2 + o(tfrac1x^2)r) = -2 - 2x + ol(tfrac1xr)
Tomando xto+infty, os termos -tfrac2x e o(tfrac1x) vão a zero, logo
L = limxto+inftyxlnl(1-tfrac2xr) = -2

Passo 5

Voltando à forma exponencial, o limite original é
expl(Lr) = exp(-2)

Resposta

limxto+inftyl(1-2xr)^x = e^-2

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