Suponha que a sequencia
tenha a propriedade de que
para
e que
e
.
a) Calcule os 8 primeiros termos de
.
b) Prove por indução que
.
(?)
a) Calcule os 8 primeiros termos de
b) Prove por indução que
(?)
Passo 1
O enunciado define uma sequência
por recorrência linear de segunda ordem
com condições iniciais
e
.
Na parte (a) vamos iterar essa fórmula para obter os oito primeiros termos.
Na parte (b) queremos provar, por indução em , que
Na parte (a) vamos iterar essa fórmula para obter os oito primeiros termos.
Na parte (b) queremos provar, por indução em
Passo 2
Para calcular
aplicamos a recorrência de forma iterativa, usando sempre
:
,
Passo 3
Para a prova por indução, verificamos primeiro os casos-base
e
.
Para :
Para
Para
:
Passo 4
Suponha agora que, para algum
, já valham
Pela recorrência,
Passo 5
Juntando termos,
Note que
no denominador
. Assim
Logo
Passo 6
Mostramos que a fórmula vale para
e que, se vale para
, vale para
.
Pelo princípio da indução,
Pelo princípio da indução,
Resposta
(a)
(b)
(b)