Suponha que a sequencia an tenha a propriedade de que an+1=12(an+an-1) para n >= 2 e que a1=1 e a2=3.
a) Calcule os 8 primeiros termos de an.
b) Prove por indução que an=73+(-1)^n3 cdot 2^n-3.
(?)

Passo 1

O enunciado define uma sequência an por recorrência linear de segunda ordem
an+1=tfrac12l(an+an-1r), n>=2,
com condições iniciais a1=1 e a2=3.
Na parte (a) vamos iterar essa fórmula para obter os oito primeiros termos.
Na parte (b) queremos provar, por indução em n, que
an=73+(-1)^n3cdot2^,n-3

Passo 2

Para calcular a3,dots,a8 aplicamos a recorrência de forma iterativa, usando sempre
,an+1=tfrac12(an+an-1):
;a1=1,;a2=3,
a3=tfrac12(3+1)=2, a4=tfrac12(2+3)=52, a5=tfrac12l(tfrac52+2r)=94,
a6=tfrac12l(tfrac94+tfrac52r)=198, a7=tfrac12l(tfrac198+tfrac94r)=3716, a8=tfrac12l(tfrac3716+tfrac198r)=7532

Passo 3

Para a prova por indução, verificamos primeiro os casos-base n=1 e n=2.
Para n=1:
73+(-1)^13cdot2^-2 =73-13cdottfrac14 =73-43=1=a1
Para n=2:
73+(-1)^23cdot2^-1 =73+13cdottfrac12 =73+23=3=a2

Passo 4

Suponha agora que, para algum k>=2, já valham
ak-1=73+(-1)^k-13cdot2^,k-4, ak =73+(-1)^k 3cdot2^,k-3
Pela recorrência,
ak+1 =tfrac12l(ak+ak-1r) =tfrac12gl( 73+(-1)^k3cdot2^k-3 +73+(-1)^k-13cdot2^k-4 gr)

Passo 5

Juntando termos,
ak+ak-1 =143 +(-1)^k3cdot2^k-3 +(-1)^k-13cdot2^k-4
Note que ;(-1)^k=-tfrac12cdot(-1)^k-1 no denominador 2^k-3. Assim
(-1)^k2^k-3 +(-1)^k-12^k-4 =l(-tfrac12+1r)(-1)^k-12^k-4 =(-1)^k-12^k-3
Logo
ak+1 =tfrac12l(tfrac143+tfrac(-1)^k-13cdot2^k-3r) = 73+(-1)^k-13cdot2^k-2 = 73+(-1)^k+13cdot2^(k+1)-3

Passo 6

Mostramos que a fórmula vale para n=1,2 e que, se vale para n=k-1,k, vale para n=k+1.
Pelo princípio da indução,
an=73+(-1)^n3cdot2^,n-3 para todo n>=1

Resposta

(a) ;a1=1,;a2=3,;a3=2,;a4=tfrac52,;a5=tfrac94,;a6=tfrac198,;a7=tfrac3716,;a8=tfrac7532
(b) an=73+(-1)^n3cdot2^,n-3

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