Calcule os seguintes limites no infinito:
lim x +infty raiz[3]x^2+8x^2+x

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular o limite no infinito da expressão com raiz cúbica. O conteúdo é limite no infinito de função racional sob radical de índice 3, e vamos precisar usar a regra de dominância de termos (dividir por maior potência de x) e a continuidade da função raiz cúbica.

Passo 2

Para simplificar a expressão dentro da raiz, dividimos numerador e denominador por x^2, que é o termo de maior grau. Assim, escrevemos:
raiz[3]x^2+8x^2+x = raiz[3]x^2l(1+8/x^2r)x^2l(1+1/xr) = raiz[3]1+8/x^21+1/x

Passo 3

Reescrevendo o limite, analisamos o comportamento dos termos que envolvem x no infinito. Quando x→+∞, temos 8/x^{2}→0 e 1/x→0, portanto a expressão dentro da raiz tende a 1:
1+8/x^21+1/x longrightarrow 1+01+0 = 1

Passo 4

Como a função raiz cúbica é contínua em todo o domínio real, podemos levar o limite para dentro:
limxto+infty raiz[3]1+8/x^21+1/x = raiz[3]limxto+infty 1+8/x^21+1/x = raiz[3]1

Resposta

1

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