Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
Passo 1
Vamos resolver a EDO \ y’’ - x y’ - y = 0 \ em torno de x_0=0 usando série de potências.
Passo 2
Propondo uma solução do tipo \ y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n \ temos:
Derivando termo a termo obtemos \ y’(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n a_n x^{n-1}, \ y’’(x)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_n x^{n-2}.
Derivando termo a termo obtemos \ y’(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n a_n x^{n-1}, \ y’’(x)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_n x^{n-2}.
Passo 3
Substituindo na EDO e reindexando para potências x^n, chega-se ao coeficiente geral n: \ (n+2)(n+1)a_{n+2} - (n+1)a_n = 0 \ daí a recorrência \ a_{n+2}=\frac{a_n}{n+2}.
Passo 4
Separando em pares e ímpares: para n=2k temos \ a_{2k} = \frac{a_0}{2\cdot4\cdot6\cdots(2k)} = \frac{a_0}{2^k k!}, \ e para n=2k+1: \ a_{2k+1} = \frac{a_1}{3\cdot5\cdots(2k+1)} = \frac{a_1}{(2k+1)!!}.
Passo 5
Logo a solução geral em série é \ y(x)=a_0\sum_{k=0}{\infty}\frac{x{2k}}{2^k k!} \ +;a_1\sum_{k=0}{\infty}\frac{x{2k+1}}{(2k+1)!!}.
Passo 6
Essas duas séries correspondem às duas soluções fundamentais independentes no entorno de x=0.
Resposta
Os termos gerais são
Assim