Calcule os seguintes limites no infinito:
lim x +infty x^3+x+1raiz[3]x^9+1

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite quando x→+∞ de uma razão entre um polinômio de grau 3 e uma raiz cúbica de um polinômio de grau 9. O conteúdo aqui é limites no infinito e análise de termos dominantes em funções algébricas.

Passo 2

Para comparar crescimento, fatoramos o termo de maior grau em numerador e denominador. No numerador, o termo dominante é x³, então escrevemos:
x^3+x+1 = x^3l(1 + 1x^2 + 1x^3r)
No denominador, temos raiz cúbica de x⁹+1. Como x⁹ é dominante, usamos raiz[3]x^9 = x^3, logo:
raiz[3]x^9+1 = x^3raiz[3]1 + 1x^9

Passo 3

Cancelamos o fator x³ em numerador e denominador e analisamos o comportamento quando x→+∞. Assim o limite vira:
limxto+infty 1 + 1x^2 + 1x^3raiz[3]1 + 1x^9
Quando x→+∞, os termos 1x^2, 1x^3 e 1x^9 tendem a 0. Portanto o numerador tende a 1 e o denominador tende a raiz[3]1 = 1.

Passo 4

Concluímos que o limite é 1, pois a razão entre os termos dominantes se reduz a 1/1.

Resposta

1

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