Verifique se os seguintes limites existem:
lim x 0(sen(x)-[[cos (x)]])

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se o limite lim x 0(sin(x) - [[cos (x)]]) existe. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas e propriedades dos limites. Vamos precisar entender como a função seno e a função cosseno se comportam perto de zero, além de interpretar o que significa a notação [[ cos(x) ]], que geralmente representa a “parte inteira” ou “função piso” de cos(x).

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada parte da expressão:
  • sin(x) é a função seno, que para valores de x próximos a zero, sin(x) approx x.
  • cos(x) é a função cosseno, que para x perto de zero, cos(x) approx 1 - x^22.
  • [[ cos(x) ]] representa a parte inteira de cos(x). Isso significa que [[ cos(x) ]] é o maior número inteiro menor ou igual a cos(x).

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de cos(x) perto de zero:
  • Quando x = 0, cos(0) = 1, então [[ cos(0) ]] = 1.
  • Para valores de x muito próximos de zero, mas diferentes de zero, cos(x) será um pouco menor que 1, por exemplo, cos(0.1) approx 0.995. Nesse caso, [[ cos(x) ]] = 0, já que 0 é o maior inteiro menor que 0.995.

Passo 4

Vamos agora analisar sin(x) perto de zero:
  • Sabemos que sin(x) se aproxima de 0 quando x se aproxima de 0.

Passo 5

Agora, montamos a expressão completa do limite:
lim x 0(sin(x) - [[cos (x)]])
Como vimos:
  • sin(x) approx 0 quando x 0.
  • [[ cos(x) ]] approx 0 quando x 0 (exceto exatamente em x=0, mas o limite considera x se aproximando de 0, não sendo exatamente 0).
Então, substituindo:
lim x 0 (0 - 0) = 0

Resposta

O limite existe e é igual a 0.

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