Verifique se os seguintes limites existem:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se o limite
existe. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas e propriedades dos limites. Vamos precisar entender como a função seno e a função cosseno se comportam perto de zero, além de interpretar o que significa a notação
, que geralmente representa a “parte inteira” ou “função piso” de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada parte da expressão:
-
é a função seno, que para valores de próximos a zero, . -
é a função cosseno, que para perto de zero, . -
representa a parte inteira de . Isso significa que é o maior número inteiro menor ou igual a .
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento de
perto de zero:
- Quando
, , então . - Para valores de
muito próximos de zero, mas diferentes de zero, será um pouco menor que 1, por exemplo, . Nesse caso, , já que 0 é o maior inteiro menor que 0.995.
Passo 4
Vamos agora analisar
perto de zero:
- Sabemos que
se aproxima de 0 quando se aproxima de 0.
Passo 5
Agora, montamos a expressão completa do limite:
Como vimos:
-
quando . -
quando (exceto exatamente em , mas o limite considera se aproximando de 0, não sendo exatamente 0).
Então, substituindo:
Resposta
O limite existe e é igual a 0.