Calcule os seguintes limites no infinito
lim x +infty(x+1x-1)^x

Passo 1

O enunciado pede
limxto+inftyl(x+1x-1r)^x
Esse tipo de limite é da forma “ 1^infty”, pois tfracx+1x-1to1 e o expoente ,xto+infty. Para resolver, vamos usar o método do logaritmo: se L é o limite da expressão, então
L = exp!l(limxtoinfty x,lnl(tfracx+1x-1r)r)

Passo 2

Primeiro simplificamos a base:
x+1x-1 = 1 + 2x-1
Logo a expressão vira
l(1+tfrac2x-1r)^x

Passo 3

Defina
y = x,lnl(1+tfrac2x-1r)
Vamos achar limxtoinftyy. Note que
lnl(1+tfrac2x-1r)sim 2x-1 quando xtoinfty
Então
y sim xcdot2x-1 = 2xx-1 =2;x-1+1x-1 =2l(1+1x-1r)
E, tomando xtoinfty, isso tende a 2. Portanto
limxtoinftyy = 2

Passo 4

Voltando ao limite original, temos
L = exp!l(limxtoinftyyr) = exp(2) = e^2

Resposta

boxede^2

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