Calcule os seguintes limites no infinito
lim x +infty(1+2x)^x^2

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
limxto+inftyl(1+2xr)^x^2
O conteúdo aqui é limite de função na forma exponencial. Para resolver, vamos reescrever a expressão como exp(cdot) e usar a expansão de Taylor de ln(1+u) para u pequeno.

Passo 2

Definimos
y = l(1+2xr)^x^2
Então podemos escrever
y = expl(x^2 ,lnl(1+tfrac2xr)r)

Passo 3

Para xto+infty temos u=tfrac2xto0. Usamos a expansão
ln(1+u)=u-u^22+O(u^3)
Com u=2/x segue
lnl(1+tfrac2xr) =2x-12l(2xr)^2+Ol(1x^3r) =2x-2x^2+Ol(1x^3r)

Passo 4

Multiplicando por x^2,
x^2lnl(1+tfrac2xr) =x^2l(2x-2x^2+O(tfrac1x^3)r) =2x-2+Ol(1xr)
Como 2x-2to+infty quando xto+infty, o expoente diverge para +infty.

Passo 5

Portanto
y=expl(x^2ln(1+2/x)r)longrightarrowexp(+infty)=+infty

Resposta

O limite é +infty.

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