Calcule os seguintes limites no infinito
\lim _{x \rightarrow-\infty} x^{2}=

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to -\infty} x^{2}.
Informações dadas:
  • A variável x tende a -\infty (ou seja, assume valores muito negativos).
  • A função a analisar é x^{2} (o quadrado de x).

Passo 2

Primeira ideia intuitiva (sem formalismo): quando x é um número negativo com grande magnitude (por exemplo x=-10, x=-100), o quadrado x^{2} é positivo e muito grande ( 100, 10000 respectivamente). Logo, ao fazermos x ficar cada vez mais negativo, x^{2} cresce sem limite para valores positivos. Portanto esperamos que o limite seja +\infty.
Vou explicar isso de forma rigorosa e ao mesmo tempo didática.

Passo 3

Observação útil sobre o módulo: para qualquer x vale
x^{2} = |x|^{2}.
Quando x\to -\infty o valor de |x| tende a +\infty. Assim, se |x| cresce sem limite, |x|^{2} também cresce sem limite, e portanto x^{2} tende a +\infty. Isso já dá a ideia, mas vamos escrever um argumento direto tipo “definição de limite no infinito” adaptado para mostrar divergência para +\infty.

Passo 4

Prova formal (estilo: para todo M>0 existe um ponto além do qual a função ultrapassa M):
  • Tome um número arbitrário M>0.
  • Defina K=\sqrt{M}. Observe que K>0.
  • Se x< -K então |x|>K. Portanto
x^{2}=|x|^{2}>(K)^{2}=M.
  • Logo, para todo M>0 existe um número (por exemplo X=-K) tal que, sempre que x<X (isto é, para todo x suficientemente negativo), tem-se x^{2}>M.
  • Essa é exatamente a definição de \lim_{x\to -\infty} x^{2}=+\infty: a função cresce além de qualquer limite positivo quando x vai para -\infty.

Passo 5

Exemplos numéricos rápidos para fixar a intuição:
  • x=-2\Rightarrow x^{2}=4.
  • x=-10\Rightarrow x^{2}=100.
  • x=-100\Rightarrow x^{2}=10000.
    À medida que x fica mais negativo, x^{2} fica cada vez maior e positivo.

Resposta

+\infty

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