Calcule os seguintes limites no infinito
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas:
- A variável
tende a (ou seja, assume valores muito negativos). - A função a analisar é
(o quadrado de ).
Passo 2
Primeira ideia intuitiva (sem formalismo): quando
é um número negativo com grande magnitude (por exemplo
,
), o quadrado
é positivo e muito grande (
,
respectivamente). Logo, ao fazermos
ficar cada vez mais negativo,
cresce sem limite para valores positivos. Portanto esperamos que o limite seja
.
Vou explicar isso de forma rigorosa e ao mesmo tempo didática.
Passo 3
Observação útil sobre o módulo: para qualquer
vale
Quando
o valor de
tende a
. Assim, se
cresce sem limite,
também cresce sem limite, e portanto
tende a
. Isso já dá a ideia, mas vamos escrever um argumento direto tipo “definição de limite no infinito” adaptado para mostrar divergência para
.
Passo 4
Prova formal (estilo: para todo
existe um ponto além do qual a função ultrapassa
):
- Tome um número arbitrário
. - Defina
. Observe que . - Se
então . Portanto
- Logo, para todo
existe um número (por exemplo ) tal que, sempre que (isto é, para todo suficientemente negativo), tem-se . - Essa é exatamente a definição de
: a função cresce além de qualquer limite positivo quando vai para .
Passo 5
Exemplos numéricos rápidos para fixar a intuição:
-
. -
. -
.
À medida quefica mais negativo, fica cada vez maior e positivo.