Calcule os seguintes limites no infinito
\lim _{x \rightarrow-\infty}-2 x^{3}=

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to -\infty} -2x^{3}.
Informações dadas:
  • A função considerada é -2x^{3}.
  • O ponto de interesse é x\to -\infty (ou seja, x tende a valores negativos com módulo muito grande).
    A pergunta clara é: qual é o comportamento de -2x^{3} quando x vai para -\infty?

Passo 2

Entendendo o que significa “limite no infinito” para polinômios (explicação didática):
  • Para polinômios, o termo de maior grau domina o comportamento quando |x| fica muito grande. Aqui o polinômio é simplesmente -2x^{3}, cujo termo dominante é x^{3} multiplicado por -2.
  • Importante: para x negativo, a potência x^{3} é negativa (porque potência ímpar conserva o sinal). Em termos simples, se x<0 então x^{3}<0.
  • Uma maneira prática de escrever isso é notar que, para x<0, vale x=-|x|, logo
x^{3}=(-|x|)^{3}=-|x|^{3}.
Isso é só manipulação algébrica para tornar claro o sinal e a dependência com o módulo |x|.

Passo 3

Aplicando isso à expressão -2x^{3}:
  • Substituindo x^{3}=-|x|^{3} (válido para x<0) obtemos
-2x^{3} = -2\bigl(-|x|^{3}\bigr) = 2|x|^{3}.
  • Agora, quando x\to -\infty, o módulo |x|\to +\infty. Portanto 2|x|^{3} cresce sem limite, tendendo para +\infty.
  • Para ver com números: se x=-10 então -2x^{3}=-2(-1000)=2000; se x=-100 então -2x^{3}=2\cdot10^{6}. À medida que x fica mais negativo o valor da função fica cada vez maior e positivo.

Passo 4

Interpretação final do resultado (o que significa em linguagem de limites):
  • Dizemos que o limite “diverge para +\infty”, isto é, a função cresce sem limite superior quando x vai para -\infty.

Resposta

+\infty

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