Determine o domínio e a imagem das seguintes funções. Verifique se cada função é injetora e, caso seja, calcule sua inversa.
f(x)=3-e^{x}.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas sobre a função f:
  • determinar o domínio de f;
  • determinar a imagem (conjunto de valores possíveis) de f;
  • verificar se f é injetora;
  • caso seja injetora, calcular a sua inversa.
Informações dadas pelo enunciado:
  • A função é f(x)=3-e^{x}.
  • Sabe-se que a função exponencial e^{x} está presente na expressão e que e^{x} é definida para todos os x\in\mathbb{R} e tem valores sempre positivos ( e^{x}>0 para todo x).

Passo 2

Determinar o domínio de f.
Explicação didática:
  • O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de x para os quais a expressão da função está bem definida.
  • A parte potencialmente problemática aqui seria a exponencial e^{x}, mas a função e^{x} está definida para todo real.
  • Não há divisão por zero, radicais de índice par com expressão negativa, nem logaritmos que limitem o domínio.
Portanto:
\text{Domínio}(f)=\mathbb{R}.í

Passo 3

Determinar a imagem (intervalo de valores de saída) de f.
Explicação didática passo a passo:
  • Primeiro lembrar o comportamento da exponencial: para todo x\in\mathbb{R} tem-se e^{x}\in(0,\infty). Ou seja, e^{x} assume todos os valores estritamente positivos.
  • A função dada é uma transformação linear da exponencial: f(x)=3-e^{x}. Isso corresponde a refletir verticalmente e^{x} (multiplicar por -1) e depois deslocar verticalmente somando 3.
  • Para analisar a imagem formalmente, ponha y=f(x). Então:
y=3-e^{x}\quad\Longleftrightarrow\quad e^{x}=3-y.
  • Como e^{x}>0, é necessário que 3-y>0, isto é y<3. Logo nenhum valor y maior ou igual a 3 pode ser atingido.
  • Agora mostrar que todo y<3 é atingido: dado qualquer y<3, temos 3-y>0, então existe x=\ln(3-y) (pois \ln é a inversa de e^{x}) e esse x satisfaz e^{x}=3-y, ou seja, f(x)=y. Assim todos os y<3 aparecem como valores de f.
Portanto:
\text{Imagem}(f)=(-\infty,3).

Passo 4

Verificar se f é injetora.
Duas maneiras didáticas de ver isso.
Método 1 — razão algébrica direta:
  • Suponha f(x_{1})=f(x_{2}). Então
3-e^{x_{1}}=3-e^{x_{2}}\quad\Rightarrow\quad e^{x_{1}}=e^{x_{2}}.
  • A função exponencial e^{x} é injetora (se e^{x_{1}}=e^{x_{2}} então x_{1}=x_{2}, pois \ln é sua inversa). Logo x_{1}=x_{2}.
  • Assim f é injetora.
Método 2 — monotonicidade (intuitivo e rápido):
  • Calcule a derivada (isto é apenas para justificar monotonicidade; se não tiver derivada na prova, use o método 1):
f'(x)=-e^{x}.
  • Como e^{x}>0 para todo x, tem-se f'(x)<0 para todo x. Isso significa que f é estritamente decrescente em todo \mathbb{R}. Função estritamente monotônica (decrescente) é injetora.
  • Conclusão: f é injetora.

Passo 5

Calcular a inversa f^{-1} (já que f é injetora).
Passos para encontrar a inversa (método padrão: trocar x por y, resolver por x, depois renomear):
  • Comece com y=f(x)=3-e^{x}.
  • Resolva para x:
y=3-e^{x}\quad\Longrightarrow\quad e^{x}=3-y.
  • Para que isso faça sentido é necessário 3-y>0, ou seja y<3 — exatamente a imagem que encontramos, então tudo consistente.
  • Aplicando \ln aos dois lados:
x=\ln(3-y).
  • Agora trocar os papéis: a inversa vista como função cujo argumento chamamos de x será
f^{-1}(x)=\ln(3-x).
  • Domínio de f^{-1} é a imagem de f, isto é x\in(-\infty,3). A imagem de f^{-1} é o domínio original de f, isto é \mathbb{R}.
Verificação rápida (checagem):
  • Tome x=0. Então f(0)=3-e^{0}=3-1=2. Agora f^{-1}(2)=\ln(3-2)=\ln(1)=0. Composição retorna ao ponto inicial, indicando que a inversa está correta.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: (-\infty,3)
Injetora: Sim
Inversa: f^{-1}(x)=\ln(3-x), com domínio (-\infty,3)

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