Determine o domínio e a imagem das seguintes funções. Verifique se cada função é injetora e, caso seja, calcule sua inversa.
.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas sobre a função
:
- determinar o domínio de
; - determinar a imagem (conjunto de valores possíveis) de
; - verificar se
é injetora; - caso seja injetora, calcular a sua inversa.
Informações dadas pelo enunciado:
- A função é
. - Sabe-se que a função exponencial
está presente na expressão e que é definida para todos os e tem valores sempre positivos ( para todo ).
Passo 2
Determinar o domínio de
.
Explicação didática:
- O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a expressão da função está bem definida. - A parte potencialmente problemática aqui seria a exponencial
, mas a função está definida para todo real. - Não há divisão por zero, radicais de índice par com expressão negativa, nem logaritmos que limitem o domínio.
Portanto:
Passo 3
Determinar a imagem (intervalo de valores de saída) de
.
Explicação didática passo a passo:
- Primeiro lembrar o comportamento da exponencial: para todo
tem-se . Ou seja, assume todos os valores estritamente positivos. - A função dada é uma transformação linear da exponencial:
. Isso corresponde a refletir verticalmente (multiplicar por ) e depois deslocar verticalmente somando . - Para analisar a imagem formalmente, ponha
. Então:
- Como
, é necessário que , isto é . Logo nenhum valor maior ou igual a pode ser atingido. - Agora mostrar que todo
é atingido: dado qualquer , temos , então existe (pois é a inversa de ) e esse satisfaz , ou seja, . Assim todos os aparecem como valores de .
Portanto:
Passo 4
Verificar se
é injetora.
Duas maneiras didáticas de ver isso.
Método 1 — razão algébrica direta:
- Suponha
. Então
- A função exponencial
é injetora (se então , pois é sua inversa). Logo . - Assim
é injetora.
Método 2 — monotonicidade (intuitivo e rápido):
- Calcule a derivada (isto é apenas para justificar monotonicidade; se não tiver derivada na prova, use o método 1):
- Como
para todo , tem-se para todo . Isso significa que é estritamente decrescente em todo . Função estritamente monotônica (decrescente) é injetora. - Conclusão:
é injetora.
Passo 5
Calcular a inversa
(já que
é injetora).
Passos para encontrar a inversa (método padrão: trocar
por
, resolver por
, depois renomear):
- Comece com
. - Resolva para
:
- Para que isso faça sentido é necessário
, ou seja — exatamente a imagem que encontramos, então tudo consistente. - Aplicando
aos dois lados:
- Agora trocar os papéis: a inversa vista como função cujo argumento chamamos de
será
- Domínio de
é a imagem de , isto é . A imagem de é o domínio original de , isto é .
Verificação rápida (checagem):
- Tome
. Então . Agora . Composição retorna ao ponto inicial, indicando que a inversa está correta.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Injetora: Sim
Inversa: , com domínio
Imagem:
Injetora: Sim
Inversa: