Calcule os seguintes limites no infinito
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{-3}{x^{5}}=

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to +\infty}\frac{-3}{x^{5}}.
Informações dadas:
  • O numerador é a constante -3.
  • O denominador é x^{5}, com x tendendo para +\infty.
  • O que se quer é o valor do quociente quando x cresce sem limite para +\infty.

Passo 2

Intuição básica sobre potências e infinito: quando x\to+\infty, qualquer potência positiva de x também tende para +\infty. Portanto
x\to+\infty \quad\Rightarrow\quad x^{5}\to+\infty.
Isso significa que o denominador cresce sem parar enquanto o numerador permanece fixo em -3.

Passo 3

Como o denominador cresce muito (vai para +\infty), a fração com numerador constante tende a zero em módulo. Para ver isso de forma clara, considere o valor absoluto da expressão:
\left|\frac{-3}{x^{5}}\right|=\frac{3}{x^{5}}.
Para x\ge 1 vale x^{5}\ge x, logo
\frac{3}{x^{5}}\le\frac{3}{x}.
Sabendo que \lim_{x\to+\infty}\dfrac{3}{x}=0, temos uma função não negativa (a \dfrac{3}{x^{5}}) que fica sempre abaixo de \dfrac{3}{x} para x\ge1, e cujo limite superior vai a zero.

Passo 4

Pelo argumento de comparação (ou teorema do confronto/squeeze), como 0\le \dfrac{3}{x^{5}}\le\dfrac{3}{x} para x\ge1 e \dfrac{3}{x}\to0, segue que
\frac{3}{x^{5}}\to 0\quad\text{quando}\quad x\to+\infty.
Como a expressão original é negativa (numerador -3, denominador positivo para x\to+\infty), a fração tende a 0 pela esquerda, mas o limite numérico é 0.

Resposta

\,0\,

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