Calcule os seguintes limites no infinito
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
As informações dadas são:
- A expressão é um polinômio em
com termos , e . - O limite deve ser tomado quando
tende a (isto é, vai para valores negativos de grande magnitude). - A pergunta é o valor desse limite (se é um número finito,
, ou ).
Passo 2
Para resolver, primeiro identificamos o termo dominante do polinômio. Em um polinômio, o comportamento para
grande é determinado pelo termo de maior grau (maior expoente). Aqui o maior expoente é
e o termo correspondente é
. Usaremos isso fatorando por
para comparar os outros termos com o termo dominante.
Fatorando
da expressão, obtemos
Isso ocorre porque:
- Dividir
por resulta em . - Dividir
por resulta em . - Dividir
por resulta em .
Essa manipulação organiza a expressão como o produto de
(que tende a infinito com sinal dependendo do expoente) por um parêntesis que tende a um número finito.
Passo 3
Agora, estudamos o comportamento dos fatores quando
.
- Avaliando o parêntesis:
-
porque e cresce em magnitude quando cresce. -
porque e cresce ainda mais rápido.
Portanto,
- Avaliando
:
Comoé ímpar, quando temos . Ou seja, a potência ímpar preserva o sinal de , e o módulo cresce sem limite.
Passo 4
Combinando os limites dos fatores, temos um fator que tende a
(isto é,
) multiplicado por um fator que tende a um número finito e positivo (isto é, o parêntesis tende a
). Quando uma função tende a
e a outra tende a um número finito estritamente positivo, o produto tende a
. Intuitivamente, para
suficientemente negativo, o parêntesis fica próximo de
e positivo, logo o produto mantém o sinal negativo de
e cresce em magnitude sem limite.
Concluímos que o limite é: