Calcule os seguintes limites no infinito
\lim _{x \rightarrow-\infty} 2 x^{7}+5 x^{4}-3 x=

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to -\infty} \; 2x^{7}+5x^{4}-3x.
As informações dadas são:
  • A expressão é um polinômio em x com termos 2x^{7}, 5x^{4} e -3x.
  • O limite deve ser tomado quando x tende a -\infty (isto é, x vai para valores negativos de grande magnitude).
  • A pergunta é o valor desse limite (se é um número finito, +\infty, ou -\infty).

Passo 2

Para resolver, primeiro identificamos o termo dominante do polinômio. Em um polinômio, o comportamento para |x| grande é determinado pelo termo de maior grau (maior expoente). Aqui o maior expoente é 7 e o termo correspondente é 2x^{7}. Usaremos isso fatorando por x^{7} para comparar os outros termos com o termo dominante.
Fatorando x^{7} da expressão, obtemos
2x^{7}+5x^{4}-3x = x^{7}\!\left(2 + 5x^{-3} - 3x^{-6}\right).
Isso ocorre porque:
  • Dividir 2x^{7} por x^{7} resulta em 2.
  • Dividir 5x^{4} por x^{7} resulta em 5x^{-3}.
  • Dividir -3x por x^{7} resulta em -3x^{-6}.
Essa manipulação organiza a expressão como o produto de x^{7} (que tende a infinito com sinal dependendo do expoente) por um parêntesis que tende a um número finito.

Passo 3

Agora, estudamos o comportamento dos fatores quando x\to -\infty.
  1. Avaliando o parêntesis:
  • \lim_{x\to -\infty} x^{-3} = 0 porque x^{-3}=1/x^{3} e x^{3} cresce em magnitude quando |x| cresce.
  • \lim_{x\to -\infty} x^{-6} = 0 porque x^{-6}=1/x^{6} e x^{6} cresce ainda mais rápido.
Portanto,
\lim_{x\to -\infty}\left(2 + 5x^{-3} - 3x^{-6}\right) = 2 + 5\cdot 0 - 3\cdot 0 = 2.
  1. Avaliando x^{7}:
    Como 7 é ímpar, quando x\to -\infty temos x^{7}\to -\infty. Ou seja, a potência ímpar preserva o sinal de x, e o módulo cresce sem limite.

Passo 4

Combinando os limites dos fatores, temos um fator que tende a -\infty (isto é, x^{7}) multiplicado por um fator que tende a um número finito e positivo (isto é, o parêntesis tende a 2>0). Quando uma função tende a -\infty e a outra tende a um número finito estritamente positivo, o produto tende a -\infty. Intuitivamente, para x suficientemente negativo, o parêntesis fica próximo de 2 e positivo, logo o produto mantém o sinal negativo de x^{7} e cresce em magnitude sem limite.
Concluímos que o limite é:
\lim_{x\to -\infty} \left(2x^{7}+5x^{4}-3x\right) = -\infty.

Resposta

-\infty

Exercícios relacionados