Calcule os seguintes limites no infinito
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas e observações iniciais:
- É uma razão de polinômios em
. - A expressão está bem definida para
; limites no infinito não exigem conhecer o valor em . - A pergunta é sobre o comportamento quando
tende a (isto é, fica arbitrariamente grande em módulo, sendo negativo).
Passo 2
Simplificação algébrica usando regras de potências. Regra usada: para
e
,
Aplicando com
e
:
válido para
. Para fins de limite, podemos trabalhar com a função simplificada
.
Passo 3
Entendendo o comportamento de
quando
. Propriedade importante:
- Para
muito negativo, é muito positivo, porque a potência é par e elimina o sinal de .
Assim escrevemos
(Em palavras: ao quadrar um número que tende a
obtemos um número que tende a
.)
Passo 4
Multiplicação por constante positiva. Regra usada: se
e
é constante, então
.
Aqui e
tem
. Logo
Aqui
Passo 5
Interpretação rápida e comparação com exemplos: como
fica grande e positivo quando
vai para
, e o coeficiente
é positivo, o produto explode para
. (Contrastando: se fosse
então
por ser potência ímpar.)