Calcule os seguintes limites no infinito
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{5 x^{4}}{x^{2}}=

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to -\infty} \frac{5x^{4}}{x^{2}}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • É uma razão de polinômios em x.
  • A expressão está bem definida para x\neq0; limites no infinito não exigem conhecer o valor em x=0.
  • A pergunta é sobre o comportamento quando x tende a -\infty (isto é, x fica arbitrariamente grande em módulo, sendo negativo).

Passo 2

Simplificação algébrica usando regras de potências. Regra usada: para a,b\in\mathbb{R} e x\neq0,
\frac{x^{a}}{x^{b}}=x^{a-b}.
Aplicando com a=4 e b=2:
\frac{5x^{4}}{x^{2}}=5\cdot\frac{x^{4}}{x^{2}}=5x^{4-2}=5x^{2},
válido para x\neq0. Para fins de limite, podemos trabalhar com a função simplificada 5x^{2}.

Passo 3

Entendendo o comportamento de x^{2} quando x\to -\infty. Propriedade importante:
  • Para x muito negativo, x^{2} é muito positivo, porque a potência 2 é par e elimina o sinal de x.
    Assim escrevemos
\lim_{x\to -\infty} x^{2}=+\infty.
(Em palavras: ao quadrar um número que tende a -\infty obtemos um número que tende a +\infty.)

Passo 4

Multiplicação por constante positiva. Regra usada: se \lim_{x\to a} f(x)=+\infty e c>0 é constante, então \lim_{x\to a} c\,f(x)=+\infty.
Aqui c=5>0 e f(x)=x^{2} tem \lim_{x\to -\infty} f(x)=+\infty. Logo
\lim_{x\to -\infty} 5x^{2}=5\cdot\left(+\infty\right)=+\infty.

Passo 5

Interpretação rápida e comparação com exemplos: como x^{2} fica grande e positivo quando x vai para -\infty, e o coeficiente 5 é positivo, o produto explode para +\infty. (Contrastando: se fosse x^{3} então \lim_{x\to -\infty} x^{3}=-\infty por ser potência ímpar.)

Resposta

+\infty

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