Calcule os seguintes limites no infinito
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{4 x^{4}+3 x^{2}-2}{x^{6}+2 x^{4}-x}=

Passo 1

O enunciado dá a expressão racional e pede o limite quando x\to -\infty:
\lim_{x\to -\infty} \frac{4x^{4}+3x^{2}-2}{x^{6}+2x^{4}-x}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Numerador: 4x^{4}+3x^{2}-2.
  • Denominador: x^{6}+2x^{4}-x.
  • O limite é pedido quando x tende a -\infty (ou seja, valores de x com grande módulo e sinal negativo).

Passo 2

Ideia básica (explicação didática): para limites no infinito de quocientes de polinômios, o comportamento é dominado pelos termos de maior grau de cada polinômio. Aqui o maior grau do numerador é 4 (termo 4x^{4}) e do denominador é 6 (termo x^{6}). Como o grau do denominador é maior que o do numerador, a razão tende a zero. Vou mostrar isso de forma algébrica e rigorosa, dividindo numerador e denominador pela maior potência de x presente no denominador.

Passo 3

Dividir numerador e denominador por x^{6} (que é a maior potência aparente no denominador). Isso é uma técnica padrão: ao dividir tudo por x^{6} transformamos cada termo numa potência negativa de x, e fica fácil ver o limite. Escrevendo:
\frac{4x^{4}+3x^{2}-2}{x^{6}+2x^{4}-x} = \frac{\dfrac{4x^{4}}{x^{6}}+\dfrac{3x^{2}}{x^{6}}-\dfrac{2}{x^{6}}}{\dfrac{x^{6}}{x^{6}}+\dfrac{2x^{4}}{x^{6}}-\dfrac{x}{x^{6}}}.
Simplificando as potências:
\frac{4x^{4}+3x^{2}-2}{x^{6}+2x^{4}-x} = \frac{4x^{-2}+3x^{-4}-2x^{-6}}{1+2x^{-2}-x^{-5}}.

Passo 4

Agora analisar o limite termo a termo quando x\to -\infty. Para k>0 temos x^{-k}=\dfrac{1}{x^{k}}\to 0 quando x\to \pm\infty. Em particular:
4x^{-2}\to 0,\qquad 3x^{-4}\to 0,\qquad 2x^{-6}\to 0,\qquad 2x^{-2}\to 0,\qquad x^{-5}\to 0
quando x\to -\infty. Portanto o numerador da fração simplificada tende a 0+0-0=0 e o denominador tende a 1+0-0=1.

Passo 5

Concluindo o limite pela passagem ao limite em numerador e denominador:
\lim_{x\to -\infty}\frac{4x^{-2}+3x^{-4}-2x^{-6}}{1+2x^{-2}-x^{-5}}=\frac{0}{1}=0.
Também é consistente com a observação intuitiva: o numerador cresce como x^{4} e o denominador como x^{6}, então a razão decai como 1/x^{2} para zero.

Resposta

0

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