Calcule os seguintes limites no infinito
Passo 1
O enunciado dá a expressão racional e pede o limite quando
:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Numerador:
. - Denominador:
. - O limite é pedido quando
tende a (ou seja, valores de com grande módulo e sinal negativo).
Passo 2
Ideia básica (explicação didática): para limites no infinito de quocientes de polinômios, o comportamento é dominado pelos termos de maior grau de cada polinômio. Aqui o maior grau do numerador é
(termo
) e do denominador é
(termo
). Como o grau do denominador é maior que o do numerador, a razão tende a zero. Vou mostrar isso de forma algébrica e rigorosa, dividindo numerador e denominador pela maior potência de
presente no denominador.
Passo 3
Dividir numerador e denominador por
(que é a maior potência aparente no denominador). Isso é uma técnica padrão: ao dividir tudo por
transformamos cada termo numa potência negativa de
, e fica fácil ver o limite. Escrevendo:
Simplificando as potências:
Passo 4
Agora analisar o limite termo a termo quando
. Para
temos
quando
. Em particular:
quando
. Portanto o numerador da fração simplificada tende a
e o denominador tende a
.
Passo 5
Concluindo o limite pela passagem ao limite em numerador e denominador:
Também é consistente com a observação intuitiva: o numerador cresce como
e o denominador como
, então a razão decai como
para zero.
Resposta
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