Calcule os seguintes limites infinitos
lim x 2^- x^2+3 x-x^2+x+2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto2^-x^2+3x-x^2+x+2
que é um caso de limite infinito de uma função racional quando o denominador se anula em x=2. Vamos identificar onde surgem assíntotas verticais e estudar o sinal de numerador e denominador ao nos aproximarmos de 2 pela esquerda.

Passo 2

Fatoramos o denominador para localizar as raízes:
-,x^2 + x + 2 = -l(x^2 - x - 2r) = -l(x-2r)l(x+1r)

Passo 3

Analisamos o comportamento de numerador e denominador para xto2^-:
  • Numerador:
x^2+3x ,longrightarrow, 2^2 + 3cdot2 = 4 + 6 = 10,
que é positivo e tende a 10.
  • Denominador:
-,(x-2)(x+1)
Para x<2 e perto de 2, x-2 é um pequeno número negativo, x+1approx3 é positivo, logo (x-2)(x+1) é negativo e, com o sinal “−” à frente, o denominador tende a um pequeno valor positivo.

Passo 4

Como o numerador aproxima-se de um número positivo finito ( 10) e o denominador aproxima-se de zero pelo lado positivo, a fração cresce sem limite. Portanto, o limite é +infty.

Resposta

limxto2^-x^2+3x-x^2+x+2 = +infty

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