Encontre os números criticos da função.
h(x)=x^-1 / 3(x-2)

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os números críticos de
h(x)=x^-1/3(x-2)
Aqui o conteúdo é derivação de funções com expoentes fracionários e a definição de número crítico: são os pontos no domínio de h onde h'(x)=0 ou h'(x) não existe.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio de h. Como existe um termo x^-1/3 = 1/raiz[,3]x, não podemos ter x=0. Porém, a raiz cúbica de x está definida para todo xneq0.
Logo o domínio é
xinRmid xneq0

Passo 3

Para derivar com mais facilidade, reescrevemos
h(x)=x^-1/3(x-2) =xcdot x^-1/3-2,x^-1/3 =x^2/3-2,x^-1/3

Passo 4

Aplicamos a regra de potência termo a termo:
  • Em x^2/3, a derivada é tfrac23x^-1/3.
  • Em -2,x^-1/3, a derivada é -2cdot(-tfrac13)x^-4/3=tfrac23x^-4/3.
    Portanto
h'(x) =23x^-1/3+23x^-4/3 =23l(x^-1/3+x^-4/3r) =23x^-4/3(x+1)

Passo 5

Procuramos pontos onde h'(x)=0 ou h'(x) não existe, desde que estejam no domínio.
  1. h'(x)=0 quando o fator (x+1)=0, isto é x=-1.
  2. h'(x) não existe quando x^-4/3 não faz sentido, ou seja em x=0, mas 0 não pertence ao domínio de h.
Logo o único número crítico é
x=-1

Resposta

O único número crítico de h é -1.

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