Nos problemas a seguir determine o limite da sequencia, quando existir. A sequencia converge?
Questão não especificada
arctan (n)n=1^infty

Passo 1

O enunciado fornece a sequência arctan(n)n=1^infty e pede o seu limite e se ela converge. O conteúdo é limite de sequência real e vamos usar propriedades da função arco-tangente.

Passo 2

Mostramos que arctan(x) é estritamente crescente em R. De fato,
ddxl(arctan(x)r)=11+x^2>0
para todo x. Logo a sequência l(arctan(n)r) é monótona crescente.

Passo 3

Verificamos que arctan(x) é limitada acima por tfracpi2, pois para todo xinR vale
arctan(x)<pi2
Portanto l(arctan(n)r) é limitada superiormente por tfracpi2.

Passo 4

Pelo teorema da convergência de sequências monótonas, uma sequência crescente e limitada acima converge e seu limite é o supremo do conjunto de termos. Aqui
suparctan(n)colon ninN=pi2

Resposta

limntoinftyarctan(n)=pi2 Logo a sequência converge e seu limite é pi2.

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