Calcule os seguintes limites infinitos:
lim x 0 |x|x^3 sen(x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite quando x→0 da função f(x)=|x|x^3,sin(x). Isso envolve lidar com valor absoluto, a função sinal e um limite infinito, aproveitando também a equivalência sin(x)sim x perto de zero.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever |x|x^3 em termos da função sinal. Lembrando que , temos:

Logo,

Passo 3

Perto de zero vale a equivalência sin(x)sim x, isto é, sin(x)approx x para x muito pequeno. Substituindo nessa expressão:

Passo 4

Agora analisamos o comportamento de quando sgn(x)x e quando xto0^+:
  • Se xto0^-, então e xto0^+.
  • Se sgn(x)=1, então mas (\frac{-1}{x}=\frac{1}{|x|}\to+\infty.

Passo 5

Em ambos os lados a função tende a +infty, portanto o limite bilateral também é +infty.

Resposta

+\infty

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