Calcule os seguintes limites infinitos:
lim x pi^+ tg(x)

Passo 1

A questão pede para calcular limxtopi2^+tan(x). O conteúdo é limites infinitos de funções trigonométricas e vamos precisar usar a definição tan(x)=sin(x)cos(x) e o comportamento de sin(x) e cos(x) quando x se aproxima de tfracpi2.

Passo 2

Escrevendo tan(x) em termos de seno e cosseno para enxergar o que acontece perto de x=tfracpi2:
tan(x)=sin(x)cos(x)

Passo 3

Quando xtopi2^+, temos:
  • sin(x) se aproxima de 1 por continuidade do seno.
  • cos(x) se aproxima de 0, mas para x>tfracpi2 o cosseno é negativo e seu valor absoluto fica cada vez menor.
    Como o numerador aprox. +1 e o denominador tende a 0 com sinal negativo, o quociente fica um número negativo de módulo cada vez maior. Por isso o limite é menos infinito.

Resposta

-\infty

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