[39] integralraizpi / 2^raizpi theta^3 cos (theta^3) d theta

Passo 1

O exercício pede para calcular integralraizpi/2^raizpi theta^3cosl(theta^3r),dtheta. Isso é um problema de integração de função composta envolvendo theta^3 dentro do cosseno; vamos usar substituição para enxergar qual primitiva aparece e descobrir que a resposta não é elementar, sendo expressa em termos de funções gama incompletas.

Passo 2

Primeiro, fazemos a substituição u=theta^3. Daí
du = 3,theta^2,dtheta Longrightarrow dtheta = du3,theta^2,

Passo 3

Note que na integral original aparece theta^3,dtheta, mas podemos escrever
theta^3,dtheta = thetacdottheta^2,dtheta = thetacdotdu3 = 13u^1/3,du,, pois de u=theta^3 segue theta=u^1/3. Então a integral fica
integralraizpi/2^raizpi theta^3cos(theta^3),dtheta = 13integral(pi/2)^3/2^pi^3/2 u^1/3cos(u),du,

Passo 4

A integral integral u^1/3cos(u),du não possui primitiva em funções elementares. Entretanto, podemos expressi-la em termos da função gama incompleta de ordem 4/3, usando a relação (via escrever cos u=Re(e^iu) e usar a definição de gamma(s,z)=integral0^z t^s-1e^-t,dt em argumentos complexos). O resultado geral é
integral u^1/3cos(u),du = 12l[(-i)^-4/3,gamma!l(tfrac43,-i ur) + (+i)^-4/3,gamma!l(tfrac43,+i ur)r] + C,

Passo 5

Aplicando isso na nossa integral com os limites u=(pi/2)^3/2 e u=pi^3/2, obtemos a resposta exata em função das gamas incompletas de argumentos complexos. Portanto, colocando tudo junto e lembrando do fator 1/3, a integral definida vale
16l[(-i)^-4/3lgamma(tfrac43,-i,pi^3/2)-gamma(tfrac43,-i,(tfracpi2)^3/2)r + (i)^-4/3lgamma(tfrac43,i,pi^3/2)-gamma(tfrac43,i,(tfracpi2)^3/2)rr], Isso mostra que não há primitiva elementar e que a resposta se expressa em termos de funções gama incompletas de ordem 4/3 avaliadas em argumentos pm i,(pi/2)^3/2 e pm i,pi^3/2.

Resposta

integralraizpi/2^raizpi!theta^3cos(theta^3),dtheta = 16l[(-i)^-4/3lgamma(tfrac43,-i,pi^3/2)-gamma(tfrac43,-i,(tfracpi2)^3/2)r + (i)^-4/3lgamma(tfrac43,i,pi^3/2)-gamma(tfrac43,i,(tfracpi2)^3/2)rr]

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