[53] integral ln (x^2-x+2) d x [54] integral x tg^-1(x) d x

Passo 1

A gente tem duas integrais para calcular: (53) integral ln(x^2 - x + 2),dx e (54) . O conteúdo principal aqui é integração por partes e, no caso da primeira, completar o quadrado.

Passo 2

Para a integral integral ln(x^2 - x + 2),dx, escolhemos por partes:
u = ln(x^2 - x + 2), dv = dx,\na fórmula é
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 3

Calculamos agora
du = 2x - 1x^2 - x + 2,dx, v = x
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integral ln(x^2 - x + 2),dx = xln(x^2 - x + 2) - integral x2x - 1x^2 - x + 2,dx

Passo 4

Precisamos simplificar
integral x2x - 1x^2 - x + 2,dx
Fazendo divisão de polinômios, notamos que
x(2x - 1) = 2(x^2 - x + 2) + (x - 4),
então
integral x2x - 1x^2 - x + 2,dx = integral 2,dx + integral x - 4x^2 - x + 2,dx
Além disso escrevemos
x - 4 = tfrac12(2x - 1) - tfrac72
para quebrar em duas frações.

Passo 5

Para integrar
integral x - 4x^2 - x + 2,dx,
completamos o quadrado:
x^2 - x + 2 = l(x - tfrac12r)^2 + tfrac74
Assim
integral 2x - 1x^2 - x + 2,dx = ln(x^2 - x + 2),
e
integral dx(x - tfrac12)^2 + (tfracraiz72)^2 = 2raiz7,arctan!l(tfrac2x - 1raiz7r)
Juntando tudo dá o resultado separado.

Passo 6

Organizando termos, para (53) obtemos
integral ln(x^2 - x + 2),dx = 2x - 12ln(x^2 - x + 2) - 2x + raiz7,arctan!l(2x - 1raiz7r) + C

Passo 7

Agora para (54) , de novo partes:

assim
integral x,tg^-1(x),dx
portanto

Passo 8

Notando que
x^21 + x^2 = 1 - 11 + x^2,
a integral restante é

Passo 9

Assim para (54) concluímos

Resposta

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