Calcule os seguintes limites laterais, quando existirem.
lim x pi^- tg(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite lateral de quando se aproxima de pela esquerda, ou seja, . Aqui estamos trabalhando com funções trigonométricas, especificamente a tangente, e vamos usar conceitos de limites para encontrar a resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso quer dizer que está se aproximando de vindo dos números menores que , ou seja, pela esquerda no gráfico.

Passo 3

Agora, vamos pensar na função . A tangente de é definida como . Então, para entender o comportamento de perto de , precisamos analisar o que acontece com e quando se aproxima de .

Passo 4

Sabemos que:
À medida que se aproxima de , se aproxima de 0 e se aproxima de -1.

Passo 5

Vamos agora ver o comportamento de tan(x) = sin(x)cos(x) :
Quando se aproxima de pela esquerda:
  • está se aproximando de 0 vindo de valores negativos (porque, antes de , o seno é negativo).
  • está se aproximando de -1.

Passo 6

Substituindo os limites:
lim x pi^- tan(x) = lim x pi^- sin(x)cos(x) = 0^--1 = 0
Aqui, indica que está se aproximando de 0 por valores negativos, mas dividido por -1 ainda resulta em 0.

Resposta

lim x pi^- tan(x) = 0

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