Calcule os seguintes limites laterais:
a) lim x 0^ pm raiz1-cos (2 x)x

Passo 1

Temos que calcular os limites laterais de f(x)= dfracraiz1-cos(2x)x quando x→0⁺ e x→0⁻. O conteúdo envolve limites, identidade trigonométrica e o limite conhecido limxto0dfracsin xx=1.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica
1-cos(2x)=2sin^2(x)
Logo
raiz1-cos(2x)=raiz2sin^2(x)=raiz2,|sin x|

Passo 3

Substituindo na função original, obtemos
raiz1-cos(2x)x=raiz2,|sin x|x

Passo 4

Para x→0⁺, temos sin x>0, logo |\sin x|=\sin x. Assim,
limxto0⁺raiz2,|sin x|x=raiz2limxto0⁺sin xx=raiz2cdot1=raiz2

Passo 5

Para x→0⁻, temos sin x<0, logo |\sin x|=-\sin x. Assim,
limxto0⁻raiz2,|sin x|x=raiz2limxto0⁻-sin xx=-raiz2limxto0⁻sin xx=-raiz2cdot1=-raiz2

Resposta

limxto0⁺raiz1-cos(2x)x=raiz2 e limxto0⁻raiz1-cos(2x)x=-raiz2.

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