Determine f, f^prime e f^prime prime.
f(x)=x^21+2 x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função f, sua primeira derivada f′ e sua segunda derivada f′′ para a função racional f(x)=x^21+2x. O conteúdo envolve derivadas de funções quociente, que podemos resolver usando a regra do quociente ou reescrevendo f em potências.

Passo 2

Vamos usar a regra do quociente. Definimos u(x)=x^2 e v(x)=1+2x. Então u'(x)=2x e v'(x)=2. Aplicando
f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2 = 2x(1+2x)-x^2cdot2(1+2x)^2 = 2x+4x^2-2x^2(1+2x)^2 = 2x(1+x)(1+2x)^2,

Passo 3

Para obter f''(x), derivamos f'(x)=2x(1+x)(1+2x)^-2. Podemos usar a regra do produto e a regra da cadeia. Seja w(x)=2x(x+1) e z(x)=(1+2x)^-2. Temos w'(x)=2(2x+1) e z'(x)=-2cdot2(1+2x)^-3=-4(1+2x)^-3 Aplicando a derivada do produto:
f''(x)=w'(x)z(x)+w(x)z'(x)=2(2x+1)(1+2x)^-2 + 2x(x+1)(-4)(1+2x)^-3

Passo 4

Colocando em denominador comum (1+2x)^3 e simplificando, chega-se a
f''(x)=2(2x+1)(1+2x) -8x(x+1)(1+2x)^3 = 2(1+2x)(1+2x)^3 = 2(1+2x)^3

Resposta

f(x)=x^21+2x, f'(x)=2x(x+1)(1+2x)^2, f''(x)=2(1+2x)^3.

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