Calcule os seguintes limites. Lembre-se que o limite trigonométrico fundamental nos diz que
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (2 x)}{x}

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o limite
\lim_{x\to 0} \frac{\tan(2x)}{x}.
Foi lembrado o limite trigonométrico fundamental
\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1,
que é a informação que iremos usar. Não há outros dados numéricos no enunciado.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: usar a identidade trigonométrica que relaciona tangente, seno e cosseno. Para qualquer argumento y,
\tan(y)=\frac{\sin(y)}{\cos(y)}.
Aplicando isso com y=2x obtemos, para todo x onde a expressão faz sentido,
\frac{\tan(2x)}{x}=\frac{\sin(2x)}{x\cos(2x)}.

Passo 3

Queremos chegar a uma expressão que contenha \dfrac{\sin(\text{algo})}{\text{algo}}, para poder usar o limite fundamental. Manipulamos a fração multiplicando numerador e denominador por 2 (ou simplesmente reescrevendo de forma equivalente):
\frac{\sin(2x)}{x\cos(2x)}=\frac{2\sin(2x)}{2x\cos(2x)}.
Agora separamos os fatores:
\frac{2\sin(2x)}{2x\cos(2x)}=2\cdot\frac{\sin(2x)}{2x}\cdot\frac{1}{\cos(2x)}.
Essa forma é conveniente porque aparece o fator \dfrac{\sin(2x)}{2x}, cujo limite conhecemos.

Passo 4

Agora usamos propriedades de limites (o limite do produto é o produto dos limites quando todos existem finitos) e limites já conhecidos:
  • Pela substituição u=2x (quando x\to 0 temos u\to 0) e pelo limite fundamental,
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(2x)}{2x}=1.
  • E como \cos(2x) é contínua e \cos(0)=1,
\lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos(2x)}=\frac{1}{\lim_{x\to 0}\cos(2x)}=\frac{1}{1}=1.
Portanto, juntando tudo,
\lim_{x\to 0}\frac{\tan(2x)}{x} = \lim_{x\to 0}\left(2\cdot\frac{\sin(2x)}{2x}\cdot\frac{1}{\cos(2x)}\right) =2\cdot 1\cdot 1=2.

Passo 5

Comentário final e generalização rápida (útil para prova): o mesmo raciocínio mostra que, para qualquer constante real a,
\lim_{x\to 0}\frac{\tan(ax)}{x}=a.
Basta reescrever \dfrac{\tan(ax)}{x}=\dfrac{\sin(ax)}{ax}\cdot \dfrac{a}{\cos(ax)} e aplicar o limite fundamental e continuidade do cosseno. Força aí — esse tipo de limite costuma aparecer bastante e agora você já tem a técnica direta!

Resposta

2

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