Calcule os seguintes limites. Lembre-se que o limite trigonométrico fundamental nos diz que
Passo 1
O enunciado pede que se calcule o limite
Foi lembrado o limite trigonométrico fundamental
que é a informação que iremos usar. Não há outros dados numéricos no enunciado.
Passo 2
Primeiro passo algébrico: usar a identidade trigonométrica que relaciona tangente, seno e cosseno. Para qualquer argumento
,
Aplicando isso com
obtemos, para todo
onde a expressão faz sentido,
Passo 3
Queremos chegar a uma expressão que contenha
, para poder usar o limite fundamental. Manipulamos a fração multiplicando numerador e denominador por
(ou simplesmente reescrevendo de forma equivalente):
Agora separamos os fatores:
Essa forma é conveniente porque aparece o fator
, cujo limite conhecemos.
Passo 4
Agora usamos propriedades de limites (o limite do produto é o produto dos limites quando todos existem finitos) e limites já conhecidos:
- Pela substituição
(quando temos ) e pelo limite fundamental,
- E como
é contínua e ,
Portanto, juntando tudo,
Passo 5
Comentário final e generalização rápida (útil para prova): o mesmo raciocínio mostra que, para qualquer constante real
,
Basta reescrever
e aplicar o limite fundamental e continuidade do cosseno. Força aí — esse tipo de limite costuma aparecer bastante e agora você já tem a técnica direta!