Calcule os seguintes limites. Lembre-se que o limite trigonométrico fundamental nos diz que
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1
\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\cos (x)-\operatorname{sen}(x)}{\tan (x)-1}

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que temos de informação.
  • Pedidos:
    1. Calcular \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}.
    2. Calcular \displaystyle \lim_{x\to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos(x)-\operatorname{sen}(x)}{\tan(x)-1}.
  • Informações dadas / relevantes:
    • Está lembrado para usar o limite trigonométrico fundamental: \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1.
    • As funções trigonométricas usuais são contínuas onde estão definidas, mas em cada limite preciso verificar se a substituição direta dá forma indeterminada (como 0/0) e então manipular.

Passo 2

Cálculo do primeiro limite: \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}.
Quero mostrar didaticamente por que esse limite vale 1 (a chamada prova via desigualdades/squeeze).
  1. Para x no intervalo 0<x<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade clássica (geométrica)
\operatorname{sen}(x) < x < \tan(x).
Essa desigualdade pode ser vista com um desenho do círculo trigonométrico e áreas (não precisa reproduzir aqui), mas é um resultado padrão.
  1. Dividindo a desigualdade por x (que é positivo nesse intervalo) obtemos
\frac{\operatorname{sen}(x)}{x} < 1 < \frac{\tan(x)}{x}.
  1. Escrever \tan(x)=\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)}
\frac{\operatorname{sen}(x)}{x} < 1 < \frac{\operatorname{sen}(x)}{x}\cdot\frac{1}{\cos(x)}.
Rearranjando (dividindo pela mesma expressão positiva) chega-se a
\cos(x) < \frac{\operatorname{sen}(x)}{x} < 1.
  1. Agora aplicamos o teorema do confronto (squeeze): como \lim_{x\to 0}\cos(x)=1 e o outro limite trivial é 1, obtemos
\lim_{x\to 0^+}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1.
  1. Para x\to 0^- podemos usar que \operatorname{sen} é função ímpar: \operatorname{sen}(-x)=-\operatorname{sen}(x). Assim a mesma conclusão vale pelos dois lados, e
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1.
Comentário amigável: esse resultado é essencial e aparece sempre — decora: \operatorname{sen}(x)\sim x quando x\to 0.

Passo 3

Agora o segundo limite:
\lim_{x\to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos(x)-\operatorname{sen}(x)}{\tan(x)-1}.
Primeiro faço a substituição direta para ver a forma:
  • No numerador, \cos\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big)-\operatorname{sen}\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}-\tfrac{\sqrt{2}}{2}=0.
  • No denominador, \tan\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big)-1=1-1=0.
Logo temos forma indeterminada 0/0. Isso me diz que preciso manipular algebraicamente (ou usar L’Hôpital), mas antes vou tentar uma simplificação trigonométrica elementar — geralmente mais rápido em prova.

Passo 4

Manipulação para simplificar a expressão e cancelar o fator que causa 0/0.
Começo reescrevendo o denominador em termos de seno e cosseno:
\tan(x)-1=\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)}-1=\frac{\operatorname{sen}(x)-\cos(x)}{\cos(x)}.
Assim a fração original fica
\frac{\cos(x)-\operatorname{sen}(x)}{\tan(x)-1} = \frac{\cos(x)-\operatorname{sen}(x)}{\dfrac{\operatorname{sen}(x)-\cos(x)}{\cos(x)}}.
Note que \operatorname{sen}(x)-\cos(x)=-(\cos(x)-\operatorname{sen}(x)). Substituindo isso na expressão do denominador:
\frac{\cos(x)-\operatorname{sen}(x)}{\tan(x)-1} = \frac{\cos(x)-\operatorname{sen}(x)}{\dfrac{-(\cos(x)-\operatorname{sen}(x))}{\cos(x)}}.
Agora vem o passo essencial: para x próximo de \tfrac{\pi}{4} (mas diferente dele) o fator \cos(x)-\operatorname{sen}(x) é comum ao numerador e ao denominador, e podemos cancelá‑lo (isso é legítimo ao calcular limite, desde que tratemos a remoção do ponto onde é zero). Cancelando,
\frac{\cos(x)-\operatorname{sen}(x)}{\tan(x)-1} = \frac{\cos(x)-\operatorname{sen}(x)}{-\dfrac{\cos(x)-\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)}} = -\cos(x).
Portanto para todo x próximo de \tfrac{\pi}{4} (com x\neq \tfrac{\pi}{4}) a expressão é igual a -\cos(x). Assim o limite reduz-se a
\lim_{x\to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos(x)-\operatorname{sen}(x)}{\tan(x)-1} = \lim_{x\to \frac{\pi}{4}} \big(-\cos(x)\big).

Passo 5

Agora calculo o limite da função contínua -\cos(x) em x=\tfrac{\pi}{4}. Como \cos\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, obtemos
\lim_{x\to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos(x)-\operatorname{sen}(x)}{\tan(x)-1} = -\cos\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big) = -\frac{\sqrt{2}}{2}.
Comentário extra (rápido): outra forma era aplicar L’Hôpital (derivar numerador e denominador) porque tínhamos 0/0, e obteríamos o mesmo resultado; porém a simplificação algébrica foi mais direta e rápida em prova.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1
\displaystyle \lim_{x\to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos(x)-\operatorname{sen}(x)}{\tan(x)-1}=-\frac{\sqrt{2}}{2}

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