Calcule os seguintes limites. Lembre-se que o limite trigonométrico fundamental nos diz que
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que temos de informação.
-
Pedidos:
- Calcular
. - Calcular
.
- Calcular
-
Informações dadas / relevantes:
- Está lembrado para usar o limite trigonométrico fundamental:
. - As funções trigonométricas usuais são contínuas onde estão definidas, mas em cada limite preciso verificar se a substituição direta dá forma indeterminada (como
) e então manipular.
- Está lembrado para usar o limite trigonométrico fundamental:
Passo 2
Cálculo do primeiro limite:
.
Quero mostrar didaticamente por que esse limite vale
(a chamada prova via desigualdades/squeeze).
- Para
no intervalo vale a desigualdade clássica (geométrica)
Essa desigualdade pode ser vista com um desenho do círculo trigonométrico e áreas (não precisa reproduzir aqui), mas é um resultado padrão.
- Dividindo a desigualdade por
(que é positivo nesse intervalo) obtemos
- Escrever
dá
Rearranjando (dividindo pela mesma expressão positiva) chega-se a
- Agora aplicamos o teorema do confronto (squeeze): como
e o outro limite trivial é , obtemos
- Para
podemos usar que é função ímpar: . Assim a mesma conclusão vale pelos dois lados, e
Comentário amigável: esse resultado é essencial e aparece sempre — decora:
quando
.
Passo 3
Agora o segundo limite:
Primeiro faço a substituição direta para ver a forma:
- No numerador,
. - No denominador,
.
Logo temos forma indeterminada
. Isso me diz que preciso manipular algebraicamente (ou usar L’Hôpital), mas antes vou tentar uma simplificação trigonométrica elementar — geralmente mais rápido em prova.
Passo 4
Manipulação para simplificar a expressão e cancelar o fator que causa
.
Começo reescrevendo o denominador em termos de seno e cosseno:
Assim a fração original fica
Note que
. Substituindo isso na expressão do denominador:
Agora vem o passo essencial: para
próximo de
(mas diferente dele) o fator
é comum ao numerador e ao denominador, e podemos cancelá‑lo (isso é legítimo ao calcular limite, desde que tratemos a remoção do ponto onde é zero). Cancelando,
Portanto para todo
próximo de
(com
) a expressão é igual a
. Assim o limite reduz-se a
Passo 5
Agora calculo o limite da função contínua
em
. Como
, obtemos
Comentário extra (rápido): outra forma era aplicar L’Hôpital (derivar numerador e denominador) porque tínhamos
, e obteríamos o mesmo resultado; porém a simplificação algébrica foi mais direta e rápida em prova.